[論文レビュー] The Maximal Positively Invariant Set: Polynomial Setting

Saša V. Raković, Mario E. Villanueva|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Advanced Control Systems Optimization参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、基本的代数的制約を伴う多項式離散時系列ダイナミクスの最大正に不変集合（MPOS）が、弱い条件下で自身も基本的代数的集合であることを確立する。本稿では、多項式最適化を用いた反復的前像計算に基づく有限時間収束アルゴリズムを提案する。この手法は、基本的代数的集合の前像演算における閉包性と、計算にための平方和（SOS）技術を活用する。

ABSTRACT

This note considers the maximal positively invariant set for polynomial discrete time dynamics subject to constraints specified by a basic semialgebraic set. The note utilizes a relatively direct, but apparently overlooked, fact stating that the related preimage map preserves basic semialgebraic structure. In fact, this property propagates to underlying set--dynamics induced by the associated restricted preimage map in general and to its maximal trajectory in particular. The finite time convergence of the corresponding maximal trajectory to the maximal positively invariant set is verified under reasonably mild conditions. The analysis is complemented with a discussion of computational aspects and a prototype implementation based on existing toolboxes for polynomial optimization.

研究の動機と目的

• 多項式ダイナミクスに基本的代数的制約を課した場合、最大正に不変集合（MPOS）が自身で基本的代数的集合であるかどうかを特定すること。
• 弱い正則性条件の下で、前像に基づく軌道がMPOSに有限時間で収束することを確立すること。
• 既存の多項式最適化ツールを活用した、MPOSを計算可能なアルゴリズムの開発。
• 複数の制約集合を含むプロトタイプ実装と数値例を通じて、手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 基本的代数的集合が多項式前像および交差演算に関して閉じているという事実を活用し、反復処理において構造が保たれることを保証する。
• 元のシステムの制限付き前像写像を用いて集合ダイナミクスを定義し、集合の列 X₀, X₁, X₂, ..., X_k を生成する。
• 数学的帰納法を用いて各 X_k が基本的代数的集合であることを証明し、極限（MPOS）がこの構造を継承することを保証する。
• SOSTOOLS および GloptiPoly を用いた半正定値計画法による平方和（SOS）緩和法を用いて、多項式最適化の部分問題を解く。
• 各反復で非有効制約を削除するためのオプションの冗長性除去ステップを実装し、多項式最適化を用いる。
• 反復的前像計算 X_{k+1} = f^{-1}(X_k) ∩ X₀ を用い、コンパクト性および正則性条件の下で有限時間内にMPOSに収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式ダイナミクスに基本的代数的制約を課した場合、最大正に不変集合が自身で基本的代数的集合である条件は何か？
• RQ2 MPOSは有限回の前像操作と多項式最適化によって計算可能か？
• RQ3 弱い仮定の下で、反復的前像ベースの軌道は有限時間内にMPOSに収束するか？
• RQ4 制約の冗長性検出と除去により、計算効率をどのように向上できるか？
• RQ5 平方和証明は、固定点の局所安定性と実行可能性を検証する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 弱い正則性およびコンパクト性条件の下で、基本的代数的制約を伴う多項式ダイナミクスの最大正に不変集合が、基本的代数的集合であることが証明された。
• 反復的前像ベースの軌道が有限時間内にMPOSに収束し、帰納法および構造的閉包性の性質により収束が検証された。
• 数値例では、すべてのテストされたノルムに基づく制約集合（1-ノルム、2-ノルム、∞-ノルム球）に対して、アルゴリズムが3反復で終了した。
• MPOSは最終的な集合を定義する多項式のベクトルとして明示的に計算された。プロトタイプ実装ではSOSTOOLSおよびGloptiPolyが使用された。
• 各反復でℓ個の多項式最適化問題を解くことで、制約の冗長性削減が計算的に実現可能であるが、非凸ケースでは恩恵が異なる可能性がある。
• 本手法により、構造的および計算的保証を備えた長期的な制約満たしを保証するため、自律的およびサイバーフィジカルシステムの安全領域計算が可能になった。