[論文レビュー] An index formula for simple graphs

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|May 2, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 68被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、単射関数の期待値を用いて、グラフのオイラー乗数と離散的曲率を結びつける位相的インデックス公式を確立する。すべての奇数次元の幾何的グラフが、どこでも曲率がゼロであることを証明しており、これは導出されたグラフ $B_f(x)$ のオイラー乗数を含むインデックス公式から導かれる。これは、有限単純グラフおよびコンパクトなリーマン多様体に対して、ポincare-Hopf定理とガウス-ボンネの定理を一般化する。

ABSTRACT

Gauss-Bonnet for simple graphs G assures that the sum of curvatures K(x) over the vertex set V of G is the Euler characteristic X(G). Poincare-Hopf tells that for any injective function f on V the sum of i(f,x) is X(G). We also know that averaging the indices E[i(f,x)] over all functions gives curvature K(x). We explore here the situation when G is geometric of dimension d: that is if each unit sphere S(x) is geometric of dimension d-1 and that X(S(x))=0 for even d and X(S(x))=2 for odd d. The dimension of G is inductively defined as the average of 1+dim(S(x)) over all S(x) assuming the empty graph has dimension -1. We prove that any odd dimensional geometric graph G has zero curvature. This is done with the help of an index formula j(f,x) = 1-X(S(x))/2-X(B(f,x))/2, where j(x)=[i(f,x)+i(-f,x)]/2. The graph B(f,x) is the discrete level surface {y | f(y) = f(x)} intersected with S(x). It is a subgraph of the line graph of G and geometric if G is geometric. The index formula simplifies for geometric graphs: for even d it is j(f,x) = 1-X(B(f,x))/2, where B(f,x) is a (d-2)-dimensional graph. For odd d it becomes j(f,x) =-X(B(f,x))/2, where B(f,x) is an odd dimensional graph. Because by induction with respect to d, the X(B(f,x))=0 we know now that that j(f,x) is zero for all x and so, by taking expectation over f that curvature K(x) is zero for all x. We also point out that all these results hold almost verbatim for compact Riemannian manifolds and actually are much simpler there. The same integral geometric index formula is valid if f is a Morse function, i(f,x) is the index of the gradient vector field and if S(x) is a sufficiently small geodesic sphere around x and B(f,x) which is S(x) intersected with the level surface {y | f(y)=f(x)}. Also in the continuum, the symmetric index j(f,x) is constant zero everywhere if d is odd.

研究の動機と目的

• 有限単純グラフに対して、Poincaré-Hopf定理およびガウス-ボンネの定理を一般化する離散的インデックス公式を確立すること。
• すべての奇数次元の幾何的グラフが、どこでも曲率がゼロであることを証明することにより、連続多様体からの既知の結果を離散的グラフへ拡張すること。
• 頂点 $x$ と単射関数 $f$ から導かれる幾何的部分グラフ $B_f(x)$ を定義・分析し、インデックス公式の主要な構成要素とする。
• モース関数を用いたコンパクトなリーマン多様体においても同じインデックス公式が成り立つことにより、離散的および連続的曲率理論を統一すること。
• 単位球の性質と完成化プロセスを用いて幾何的グラフの概念を形式化し、次元およびオイラー乗数における位相的一致性を保証すること。

提案手法

• 離散的曲率 $j_f(x)$ が頂点 $x$ において成り立つインデックス公式 $j_f(x) = \frac{1}{2}[2 - \chi(S(x)) - \chi(B_f(x))]$ を導出する。ここで $S(x)$ は単位球、$B_f(x)$ は関数 $f$ から導かれる導出グラフである。
• 積分幾何的アプローチを用い、頂点集合上のすべての単射関数 $f$ におけるインデックス $i_f(x) = 1 - \chi(S_f^-(x))$ の期待値として曲率を表現する。
• 次元に関する帰納法を適用し、奇数次元の幾何的グラフでは $B_f(x)$ がオイラー乗数がゼロである $(d-2)$-次元の幾何的グラフであることを示し、$j_f(x) = 0$ を導く。
• グラフ $G$ の完成化を、すべての単位球および部分グラフが幾何的になるように頂点と辺を追加するプロセスとして定義し、位相的不変性を保証する。
• 完成化されたグラフ $G'$ のオイラー乗数としてのポリトープオイラー乗数を定義し、完成化に対して不変であることを示す。
• 積み込みグラフ $G \times H$ に公式を適用し、$G$ と $H$ が正の次元の幾何的グラフであれば、$G \times H$ はオイラー乗数が明確に定義されたポリトープであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 例から観察されるように、有限単純グラフの曲率は奇数次元で消えるのか？
• RQ2 グラフの離散的曲率は、単射関数のインデックスの期待値として表現可能か？
• RQ3 インデックス公式が幾何的グラフで成り立つために、導出グラフ $B_f(x)$ が満たすべき位相的性質は何か？
• RQ4 離散的設定におけるインデックス公式は、連続的領域における古典的なPoincaré-Hopf定理およびガウス-ボンネの定理とどのように関係するか？
• RQ5 幾何的グラフの完成化は、どのような条件下で一意的かつ完成化プロセスに対して不変となるか？

主な発見

• 任意の奇数次元の幾何的グラフにおいて、$j_f(x) = -\chi(B_f(x))/2 = 0$ であるため、すべての頂点 $x$ において曲率 $K(x)$ は恒等的にゼロである。
• インデックス公式 $j_f(x) = \frac{1}{2}[2 - \chi(S(x)) - \chi(B_f(x))]$ は、幾何的でない有限単純グラフに対しても成り立つ。
• 奇数次元では $B_f(x)$ はオイラー乗数がゼロである $(d-2)$-次元の幾何的グラフであるため、$j_f(x) = 0$ が保証される。
• 偶数次元の幾何的グラフでは、公式は $j_f(x) = 1 - \chi(B_f(x))/2$ に簡略化され、オイラー乗数の計算がより低い次元のグラフの和として行える。
• 関数 $f$ がモース関数である場合、コンパクトなリーマン多様体に対しても同じインデックス公式が成り立ち、$S(x)$ が小さな測地的球であり、$B_f(x) = S(x) \cap \{y \mid f(y) = f(x)\}$ である。
• グラフのポリトープオイラー乗数は完成化に対して不変であり、例えば立方体の完成化グラフのオイラー乗数は 2 であり、ハイパーキューブの完成化グラフのオイラー乗数は 0 である。