[論文レビュー] The Mean Curvature of the Second Fundamental Form of a hypersurface

Stefan Haesen, Steven Verpoort|ArXiv.org|Sep 13, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、半リーマン多様体内の超曲面に対して第二基本形式の平均曲率（$H_{\text{II}}$）の概念を導入し、その第一変分を導出し、外在的超球面を特徴付けるために用いる。主な貢献は、$H_{\text{II}}$ が一定であるか、特定の曲率関係を満たす超曲面が、空間形式およびアインシュタイン多様体において外在的超球面であることが示されたことである。幾何学的および変分的解析を通じて第二基本形式の面積関数の性質を考察した結果、得られた。

ABSTRACT

An expression for the first variation of the area functional of the second fundamental form is given for a hypersurface in a semi-Riemannian space. The concept of the "mean curvature of the second fundamental form" is then introduced. Some characterisations of extrinsic hyperspheres in terms of this curvature are given.

研究の動機と目的

• 半リーマン多様体内の超曲面に対して、変分量としての第二基本形式の平均曲率 $H_{\text{II}}$ を定義し、その解析を行う。
• 第二基本形式の面積関数の第一変分を調べることで、第二基本形式の外在的幾何を考察する。
• 空間形式、アインシュタイン多様体、および3次元多様体において、$H_{\text{II}}$ および曲率不変量を用いて外在的超球面を特徴付ける。
• 測地的超球面の面積が第二基本形式によって測定された場合、それがユークリッド超球面の面積と等しくなる条件を確立する。
• 多様体が局所的に平坦であるか、またはWeylテンソルが消えるかの必要十分条件を、スカラー曲率、Ricciテンソル、Riemannテンソルなどの曲率不変量に関して導出する。

提案手法

• 第二基本形式の幾何における超曲面の面積を測る関数 $\text{Area}_{\text{II}}(M) = \bigint \nolimits_M \big|\text{det}(A)\big|^{1/2} d\text{Vol}$ を定義する。ここで $A$ は形状作用素を表す。
• 法方向の変形における $\text{Area}_{\text{II}}(M)$ の第一変分を導出し、これにより $H_{\text{II}}$ を定義する。$H_{\text{II}}$ はこの面積の変化率として定義される。
• 第一および第二基本形式のLevi-Civita接続の間の比較公式を確立し、幾何的量を関連付ける。
• 半径 $r$ の関数として $\text{Area}_{\text{II}}(\text{測地的超球面})$ のべき級数展開を導出し、スカラー曲率 $\bar{S}$、Ricciテンソル $\bar{\text{Ric}}$、Riemannテンソル $\bar{R}$ などの曲率不変量を含む。
• Riemann多様体 $\bar{M}$ における測地的超球面に展開を適用し、その面積をユークリッド超球面の面積と等しくすることで、曲率制約を導出する。
• WeylテンソルおよびBochnerテンソルの解析を用いて、追加の幾何的仮定（例えば、共形平坦性、Kähler構造）のもとで局所平坦性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二基本形式に沿った面積関数の第一変分は何か？ そして、これにより新たな平均曲率 $H_{\text{II}}$ がどのように定義されるか？
• RQ2 空間形式またはアインシュタイン多様体内のどの超曲面が $H_{\text{II}} = C \sqrt{K}$ または $H_{\text{II}} - K_{\text{II}}$ が定符号をとるか？
• RQ3 Riemann多様体 $\bar{M}$ において、すべての $r$ と $n$ に対して $\text{Area}_{\text{II}}(\bar{G}_n(r)) = r^{m/2} \alpha_m$ が成り立つような曲率条件は何か？
• RQ4 条件 $\text{Area}_{\text{II}}(\text{測地的超球面}) = r^{m/2} \alpha_m$ が成り立つとき、$\bar{M}$ が局所的に平坦であると示すにはどのような条件が必要か？
• RQ5 共形平坦性、Kähler構造、または積構造などの仮定が、面積等式の下で $\bar{M}$ が局所的に平坦であるという結論にどのように影響を与えるか？

主な発見

• Riemann多様体 $\bar{M}$ における測地的超球面の面積（第二基本形式による測定）は、半径 $r$ のベキ級数として漸近展開可能であり、曲率不変量を含む： $\text{Area}_{\text{II}}(\bar{G}_n(r)) = r^{m/2} \alpha_m \left[1 - r^2 \left(\frac{\bar{S}}{3(m+1)}\right)_{(n)} + r^4 \left( \cdots \right) + \mathcal{O}(r^5) \right]$。
• すべての $r$ と $n$ に対して $\text{Area}_{\text{II}}(\bar{G}_n(r)) = r^{m/2} \alpha_m$ が成り立つならば、スカラー曲率 $\bar{S} = 0$ かつ $\|\bar{R}\|^2 = \|\bar{\text{Ric}}\|^2$ が成り立つ。
• 追加仮定（次元 $\leq 5$、Ricciテンソルが正定値／負定値、共形平坦性（次元 ≠ 6）、Kähler構造（次元 $\leq 5$）、積構造）のもとでは、多様体 $\bar{M}$ は局所的に平坦である。
• 次元 $\dim \bar{M} \leq 5$ の場合、曲率制約からWeylテンソルのノルムが $\|\bar{W}\|^2 = 0$ であることが示され、$\bar{R} = 0$ となる。
• $\|\bar{W}\|^2 = \frac{m-5}{m-1}\|\bar{R}\|^2 \leq 0$ が成り立つと、$m \leq 4$ の場合 $\bar{R} = 0$ が導かれ、低次元での局所平坦性が証明される。
• $\dim \bar{M} \geq 7$ の場合、共形平坦性および曲率制約が成り立つと、$\|\bar{R}\|^2 = 0$ でなければ矛盾が生じる。このとき再び $\bar{R} = 0$ が導かれる。