[論文レビュー] The mean field Schrödinger problem: ergodic behavior, entropy estimates and functional inequalities

Julio Backhoff‐Veraguas, Giovani Conforti+2 more|University of Twente Research Information|May 7, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、初期および最終配置条件下における相互作用するブラウン運動粒子の最も確率的な時間発展をモデル化する、大偏差に基づく枠組みとしての平均場シュレーディンガー問題（MFSP）を導入し、分析する。著者らは、McKean-Vlasov制御系を用いて問題を定式化し、前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）と関連付けることで、平衡状態への指数的収束を確立し、平均場エントロピー費用を含む新しい関数不等式を導出し、オットーの確率測度空間上のリーマン幾何学的計算と深い関係を明らかにする。

ABSTRACT

We study the mean field Schrödinger problem (MFSP), that is the problem of finding the most likely evolution of a cloud of interacting Brownian particles conditionally on the observation of their initial and final configuration. Its rigorous formulation is in terms of an optimization problem with marginal constraints whose objective function is the large deviation rate function associated with a system of weakly dependent Brownian particles. We undertake a fine study of the dynamics of its solutions, including quantitative energy dissipation estimates yielding the exponential convergence to equilibrium as the the time between observations grows larger and larger, as well as a novel class of functional inequalities involving the mean field entropic cost (i.e. the optimal value in (MFSP)). Our strategy unveils an interesting connection between forward backward stochastic differential equations and the Riemannian calculus on the space of probability measures introduced by Otto, which is of independent interest.

研究の動機と目的

• 境界条件を満たす弱い相互作用を示すブラウン運動粒子の平均場シュレーディンガー問題を、大偏差最小化問題として形式化すること。
• 弱く相互作用する粒子系の文脈において、平均場シュレーディンガー・ブリッジ（MFSB）の存在およびエルゴード的性質を確立すること。
• 時間区間が延長するに従い、エネルギー散逸の定量的推定を導出し、平衡状態への指数的収束を証明すること。
• 平均場エントロピー費用を含む新しい関数不等式クラスを導入し、証明することにより、最適輸送および情報理論における古典的結果を一般化すること。
• 前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）とオットーの確率測度空間上のリーマン幾何学的計算との間の新たな関係を解明すること。

提案手法

• 弱い相互作用を示すブラウン運動粒子に対して、ペアポテンシャル W で制御される速度項を持つ大偏差率最小化問題として MFSP を定式化する。
• MFSP と McKean-Vlasov 制御問題との等価性を確立し、粒子系の制御が速度項であることを示す。
• MFSB の最適ダイナミクスを特徴付ける前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）系を導出する。
• 確率測度空間上でのオットーのリーマン幾何学的計算を用いて、ダイナミクスを幾何学的観点から解釈する。
• 時間反転とギルサノフ型変換を用いて、相対エントロピー推定を導出し、ダイナミクスにおける補正項を制御する。
• 微分不等式およびリャプノフ型の議論を用いて、平衡状態への指数的収束を証明し、エントロピー費用のための関数不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間区間 T が延長するに従い、平均場シュレーディンガー問題のダイナミクスは平衡状態への収束に関してどのように振る舞うか、特にその挙動は？
• RQ2 平均場エントロピー費用を支配する関数不等式は何か？ そして、最適輸送および情報理論における古典的不等式をどのように一般化するか？
• RQ3 MFSP の解ダイナミクスと前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）との間の明確な関係は何か？
• RQ4 確率測度空間上でのオットーのリーマン幾何学的計算は、MFSP 解の幾何的性質をどのように理解するのに役立つか？
• RQ5 MFSP における定量的エネルギー散逸および収束速度は何か？ そして、相互作用ポテンシャル W にどのように依存するか？

主な発見

• 平均場シュレーディンガー・ブリッジ（MFSB）として知られる MFSP の解は、時間区間 T が大きくなるに従い、相互作用ポテンシャル W に依存するレートで平衡状態への指数的収束を示す。
• 本稿では、平均場エントロピー費用を含む新しい関数不等式クラスを確立し、古典的な HWI 不等式およびログ・ソボレフ不等式を一般化する。
• ギルサノフ変換における補正項の定量的上界が導出され、相対エントロピー推定および収束の証明に不可欠な役割を果たす。
• MFSB のダイナミクスは、前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）系によって特徴付けられ、最適速度がシュレーディンガーのポテンシャルと関連付けられる。
• 適切な滑らかさ条件の下で、相対エントロピー H(P|Γ(P)) が有限であることは、H(P|Rµin) が有限であることと同値であることを証明した。
• MFSP とオットーの P2(Rd) 上のリーマン幾何学的計算との間の新たな関係が明らかになり、最適路徑測度の幾何的解釈が得られた。