[論文レビュー] The minimal measurement number for low-rank matrices recovery

Zhiqiang Xu|arXiv (Cornell University)|May 27, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

この論文は代数幾何学的手法を用いて、低ランク行列の復元に必要な最小測定数を解明した。複素行列の場合、ランク-$r$ 行列の単射的復元には $4nr - 4r^2$ 個の一般測定値が必要かつ十分であることを証明し、Eldar, Needell, Plan の予想を裏付けた。実行列の場合、特定の条件下でその境界がタイトであることを示し、$\mathbb{R}^{4\times4}$ のランク1行列に対して11個の単射的測定値を構成することで、実行列の場合の予想を反証した。

ABSTRACT

The paper presents several results that address a fundamental question in low-rank matrices recovery: how many measurements are needed to recover low rank matrices? We begin by investigating the complex matrices case and show that $4nr-4r^2$ generic measurements are both necessary and sufficient for the recovery of rank-$r$ matrices in $\C^{n imes n}$ by algebraic tools. Thus, we confirm a conjecture which is raised by Eldar, Needell and Plan for the complex case. We next consider the real case and prove that the bound $4nr-4r^2$ is tight provided $n=2^k+r, k\in \Z_+$. Motivated by Vinzant's work, we construct $11$ matrices in $\R^{4 imes 4}$ by computer random search and prove they define injective measurements on rank-$1$ matrices in $\R^{4 imes 4}$. This disproves the conjecture raised by Eldar, Needell and Plan for the real case. Finally, we use the results in this paper to investigate the phase retrieval by projection and show fewer than $2n-1$ orthogonal projections are possible for the recovery of $x\in \R^n$ from the norm of them.

研究の動機と目的

• 低ランク行列を線形測定値から一意に復元するために必要な最小測定数を特定すること。
• Eldar, Needell, Plan が提起した、複素行列における $4nr - 4r^2$ 測定値の最小性に関する予想を解明すること。
• 特に $n = 2^k + r$、$k \in \mathbb{Z}_+$ の場合に、$4nr - 4r^2$ が実行列の復元においてタイトであるかどうかを調査すること。
• $\mathbb{R}^{4\times4}$ のランク1行列に対して、明示的な単射的測定セットを構成することで、実行列の場合の予想を反証すること。
• 結果を位相再構成に応用し、実ベクトル $x \in \mathbb{R}^n$ をその射影のノルムから復元する際に $2n-1$ 個未満の直交射影で十分である可能性を示し、[1] における疑問に否定的に答えること。

提案手法

• [10] および [19] の代数的道具を用いて、低ランク行列集合上の測定写像の単射性を分析する。
• 一般性の議論と代数幾何学的手法を用い、複素数の場合に $m = 4nr - 4r^2$ 個の測定値が単射性の必要十分条件であることを証明する。
• Vinzant の手法を応用し、$\mathbb{R}^{4\times4}$ のランク1行列上で単射的測定を定義する11個の実 $4\times4$ 行列を構成する。
• コンピュータ支援の代数的計算により、構成された11個の行列に対する測定写像の単射性を検証する。
• 低ランク行列の多様体の次元を分析し、代数的制約を通じて測定数と関連付ける。
• Grassmann多様体およびランク1行列多様体の構造を用いて、最小測定数の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク-$r$ 複素行列を一意に復元するために必要な最小測定数は $4nr - 4r^2$ であるか？
• RQ2 特に $n = 2^k + r$、$k \in \mathbb{Z}_+$ の場合に、実行列の復元において $4nr - 4r^2$ の境界がタイトか？
• RQ3 $4n - 4$ 個未満の測定値で、ランク1複素行列の単射的復元が可能か？
• RQ4 $\mathbb{R}^{4\times4}$ のランク1行列に対して、11個の実 $4\times4$ 行列からなる単射的測定セットが存在し、[11] の予想を反証するか？
• RQ5 実ベクトル $x \in \mathbb{R}^n$ をその射影のノルムから復元する際に、$2n - 1$ 個未満の直交射影で十分か？

主な発見

• 複素行列の場合、ランク-$r$ 行列の単射的復元には $4nr - 4r^2$ 個の一般測定値が必要かつ十分であり、[11] の予想を裏付けた。
• 実行列の場合、$n = 2^k + r$（$k \in \mathbb{Z}_+$）のとき、$4nr - 4r^2$ の境界がタイトであることが示され、これらの条件下での境界の最小性が確立された。
• 本稿では、$\mathbb{R}^{4\times4}$ のランク1行列上で単射的測定を定義する11個の実 $4\times4$ 行列を構成し、[11] の実行列の場合の予想を反証した。
• 構成された11個の行列は代数的計算により明示的に検証され、$\mathbb{R}^{4\times4}$ において $m = 11 < 4n - 4 = 12$ が十分であることが示された。
• 結果として、実ベクトル $x \in \mathbb{R}^n$ をその射影のノルムから復元する際に $2n - 1$ 個未満の直交射影で十分であることが示され、[1] における疑問に否定的に答えられた。
• $\mathbb{R}^n$ における位相再構成の最小測定数は、$n = 4$ の場合、$2n - 1$ よりも厳密に小さいことが示され、一般的に $2n - 1$ が最小であるとされる考えに反する。