[論文レビュー] The mixed scalar curvature flow on a fiber bundle

Vladimir Rovenski, Leonid Zelenko|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、混合スカラー曲率を正に近づけるために、ファイバー束上の計量のコンformalフローを導入する。非可積分性に対して非 umbilicity が十分に小さい場合、フローは正の混合スカラー曲率を持つ計量に収束することを示している。平均曲率ベクトルは強制されたバーガース方程式に従い、これは非 umbilicity の幾何的測度と関連するポテンシャルを持つ線形シュレーディンガー方程式に還元される。

ABSTRACT

We apply conformal flows of metrics restricted to the orthogonal distribution $D$ of a foliation to study the question: Which foliations admit a metric such that the leaves are totally geodesic and the mixed scalar curvature is positive? Our evolution operator includes the integrability tensor of $D$, and for the case of integrable orthogonal distribution the flow velocity is proportional to the mixed scalar curvature. We observe that the mean curvature vector $H$ of $D$ satisfies along the leaves the forced Burgers equation, this reduces to the linear Schrödinger equation, whose potential function is a certain "non-umbilicity" measure of $D$. On order to show convergence of the solution metrics $g_t$ as $t o\infty$, we normalize the flow, and instead of a foliation consider a fiber bundle $π: M o B$ of a Riemannian manifold $(M, g_0)$. In this case, if the "non-umbilicity" of $D$ is smaller in a sense then the "non-integrability", then the limit mixed scalar curvature function is positive. For integrable $D$, we give examples with foliated surfaces and twisted products.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上の葉層構造が、葉が完全測地的であり、混合スカラー曲率が正であるような計量を持つための幾何的条件を特定すること。
• 葉層構造の直交分布に制限されたコンフォーマルフローを用いた、混合スカラー曲率の発展を分析すること。
• 特に直交分布が可積分でない場合を含め、ファイバー束の設定においてフローの収束基準を確立すること。
• 平均曲率ベクトルのダイナミクスを強制バーガース方程式と関連づけ、それが幾何的ポテンシャルを持つ線形シュレーディンガー作用素に還元されることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、ファイバー束 $\pi: M \to B$ 上で計量のコンフォーマルフローを定義し、混合スカラー曲率を制御するために直交分布 $D$ 上でのみ計量を変化させる。
• 分布 $D$ が可積分である場合、フローの速度は混合スカラー曲率に比例する。非可積分の場合、進化作用素には $D$ の可積分性テンソル $T$ が含まれる。
• 分布 $D$ の平均曲率ベクトル $H$ は強制バーガース方程式を満たし、これは $D$ の非 umbilicity を測る関数 $f(x)$ を持つ線形シュレーディンガー方程式に還元される。
• 長期間の存在と収束を保証するためにフローを正規化する。極限計量はシュレーディンガー作用素 $\mathcal{H} = -\Delta - f(x)\,\text{id}$ のスペクトル理論を用いて分析される。
• Sobolev埋め込みと固有関数の正則性を用いて、解の級数展開の一様収束を証明し、極限計量の滑らかさを保証する。
• 非 umbilicity が非可積分性に対して十分に小さいという明確な幾何的条件下で、混合スカラー曲率が正の極限計量に収束することが確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上の葉層構造が、葉が完全測地的であり、混合スカラー曲率が正であるような計量を持つための幾何的条件は何か？
• RQ2 コンフォーマルフロー下で、直交分布の平均曲率ベクトルはどのように変化するか？そのダイナミクスを記述するPDEは何か？
• RQ3 直交分布の非可積分性と平均曲率の非 umbilicity の関係は何か？それらは混合スカラー曲率の符号にどのように影響するか？
• RQ4 ファイバー束上のコンフォーマルフローは、正の混合スカラー曲率を持つ計量に収束するか？どのような条件下で？

主な発見

• 平均曲率ベクトル $H$ は強制バーガース方程式に従い、これは非 umbilicity を測る関数 $f(x)$ を持つ線形シュレーディンガー方程式に還元される。
• 正規化されたフローを伴うファイバー束において、$D$ の非 umbilicity がその非可積分性に対して十分に小さいと、極限の混合スカラー曲率は正である。
• シュレーディンガー作用素 $\mathcal{H} = -\Delta - f(x)\,\text{id}$ の固有関数は滑らかで、$C^\infty(F)$ に属し、極限計量の正則性を保証する。
• ファイバー $F$ 上の任意の滑らかな関数 $u$ の、$\mathcal{H}$ の固有関数による級数展開は絶対収束かつ一様収束し、その微分も一様収束する。
• 作用素 $\mathcal{H}$ のスペクトル理論とSobolev埋め込みを組み合わせることで、$L^2$-解が一様に滑らかな極限に収束することが保証され、滑らかな極限計量の存在が保証される。
• 本稿では、葉層構造を持つ曲面やねじれ積の例を提示し、幾何的に異なる設定においてもこのフローの適用可能性を示している。