[論文レビュー] The Modified Lommel functions: monotonic pattern and inequalities

Saiful R. Mondal|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2017

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、修正Lommel関数の冪級数および無限積表現を用いて、単調性、対数凸性、および比の性質を調査する。Turán型および逆Turán型不等式を確立し、Lommel関数のRayleigh型関数を導出し、Redheffer型不等式を証明することで、数学的物理および解析学におけるこれらの特殊関数の鋭い評価を与える。

ABSTRACT

This article studies the monotonicity, log-convexity of the modified Lommel functions by using its power series and infinite product representation. Same properties for the ratio of the modified Lommel functions with the Lommel function, $\sinh$ and $\cosh$ are also discussed. As a consequence, some Turán type and reverse Turán type inequalities are given. A Rayleigh type function for the Lommel functions are derived and as an application, we obtain the Redheffer-type inequality.

研究の動機と目的

• 正規化された修正Lommel関数 $\lambda_{\mu,\nu}(x)$ のパラメータ $\mu$, $\nu$ および変数 $x$ に関する単調性および対数凸性の性質を分析すること。
• 修正Lommel関数およびその $\sinh(x)$, $\cosh(x)$, およびLommel関数との比に関して、Turán型および逆Turán型不等式を導出すること。
• 無限積因数分解を用いて、比 $L_{\mu-1/2,1/2}(x)/S_{\mu-1/2,1/2}(x)$ および関連関数の対数凸性を調査すること。
• Lommel関数のRayleigh型関数を構成し、Redheffer型不等式を導出するために応用すること。
• 級数および積展開を用いて、関連超幾何関数の零点に関する鋭い不等式および漸近的評価を確立すること。

提案手法

• 修正Lommel関数 $\lambda_{\mu,\nu}(x)$ の冪級数表現を用い、1次の整関数としての性質を、一般化超幾何関数 ${}_1F_2$ を用いて表現する。
• 関連関数の無限積表現 $\varphi_k(x) = \prod_{j=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{\eta_{\mu,k,n}^2}\right)$ を適用し、零点分布および対数凸性を分析する。
• 正の係数を有する冪級数の比単調性に関する補題1.1を用いて、$\lambda_{\mu,\nu}(x)/\lambda_{\mu_1,\nu_1}(x)$ および関連比の単調性を証明する。
• 無限積 $\Lambda_{\mu-1/2,1/2}(x)$ の対数微分から、Rayleigh型関数 $\alpha_n^{(2m)} = \sum_{n=1}^\infty \eta_{\mu,n}^{-2m}$ を導出する。
• 対数微分および級数再展開を用い、$\Lambda_{\mu-1/2,1/2}(x)$ の対数微分をRayleigh関数と関連づけ、比 $\varphi_\mu(x)$ の単調性を証明する。
• 極限比較原理および漸近的解析を適用し、導関数比の境界極限を評価することで、厳密な単調性および凸性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $\mu, \nu, \mu_1, \nu_1$ がどのような条件下で、比 $\lambda_{\mu,\nu}(x)/\lambda_{\mu_1,\nu_1}(x)$ が $(0, \infty)$ 上で厳密に増加するか？
• RQ2 パラメータ $\mu$ と $\nu$ は、固定された $x > 0$ に対して、$\lambda_{\mu,\nu}(x)$ の対数凸性および単調性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 Lommel関数の連続する零点の間の区間において、比 $L_{\mu-1/2,1/2}(x)/S_{\mu-1/2,1/2}(x)$ の対数凸性の挙動はいかなるものか？
• RQ4 Lommel関数に対してRayleigh型関数を構成し、Redheffer型不等式を導出することは可能か？
• RQ5 $\lambda_{\mu,\nu}(x)/\cosh(x)$ の比に対する鋭い評価は何か？ また、それが厳密に減少するための条件は何か？

主な発見

• 比 $\lambda_{\mu,\nu}(x)/\lambda_{\mu_1,\nu_1}(x)$ は、$\mu_1 \geq \mu > -1$ かつ $(\mu_1 - \mu)(\mu_1 + \mu + 6) \geq \nu_1^2 - \nu^2$ を満たすとき、$(0, \infty)$ 上で厳密に増加する。
• $\mu \pm \nu + 3 > 0$ のとき、各固定された $\nu \in \mathbb{R}$ および $x > 0$ に対して、関数 $\mu \mapsto \lambda_{\mu,\nu}(x)$ は $(-1, \infty)$ 上で厳密に減少かつ対数凸である。
• $\mu \pm \nu + 3 > 0$ を満たす各固定された $\mu > -1$ および $x > 0$ に対して、関数 $\nu \mapsto \lambda_{\mu,\nu}(x)$ は $\mathbb{R}$ 上で厳密に対数凸である。
• $\mu \pm \nu + 3 > 0$ のとき、関数 $x \mapsto \lambda_{\mu,\nu}^2(x)/\cosh(x)$ は $[0, \eta_{\mu,1})$ 上で厳密に減少する。
• 比 $\lambda_{\mu-1/2,1/2}(x)\Lambda_{\mu-1/2,1/2}(x)$ は、Lommel関数の最初の2つの零点の間の区間 $I_\mu$ で厳密に対数凸である。
• 関数 $\varphi_\mu(x) = \log(\Lambda_{\mu-1/2,1/2}(x)) / \log(1 - x^2/\eta_{\mu,1}^2)$ は $[0, \eta_{\mu,1})$ 上で厳密に減少し、$0$ における極限が $\eta_{\mu,1}^2 \alpha_\mu^{(2)}$、端点における極限が $1$ である。これは、零点分布に対する鋭い評価を示唆する。