[論文レビュー] The Geometry Underlying Mirror Symmetry

David R. Morrison|ArXiv.org|Aug 5, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用数 41

ひとこと要約

本稿では、鏡対称性を、鏡となる相手の特殊ラグランジュトーラスのモジュライ空間のコンパクト化・複素化として、カルラビ–ヤウ多様体に幾何学的特徴付けを提示する。主たる貢献は、任意次元における幾何学的鏡対の数学的に厳密な定義であり、量子鏡対称性とT双対性を結びつけ、ムカイベクトルとフーリエ–ムカイ変換を通じてホモロジー部分空間とホッジ理論的構造の対応関係を確立する。

ABSTRACT

The recent result of Strominger, Yau and Zaslow relating mirror symmetry to the quantum field theory notion of T-duality is reinterpreted as providing a way of geometrically characterizing which Calabi-Yau manifolds have mirror partners. The geometric description---that one Calabi-Yau manifold should serve as a compactified, complexified moduli space for special Lagrangian tori on the other Calabi-Yau manifold---is rather surprising. We formulate some precise mathematical conjectures concerning how these moduli spaces are to be compactified and complexified, as well as a definition of geometric mirror pairs (in arbitrary dimension) which is independent of those conjectures. We investigate how this new geometric description ought to be related to the mathematical statements which have previously been extracted from mirror symmetry. In particular, we discuss how the moduli spaces of the `mirror' Calabi-Yau manifolds should be related to one another, and how appropriate subspaces of the homology groups of those manifolds could be related. We treat the case of K3 surfaces in some detail.

研究の動機と目的

• 物理的予想に依存しない、カルラビ–ヤウ多様体における鏡対称性の幾何学的基準を定式化すること。
• 特殊ラグランジュ部分多様体のモジュライ空間を用いて、任意次元における幾何学的鏡対を定義すること。
• 新しい幾何学的特徴付けが、既存のトポロジー的およびホッジ理論的不変量とどのように関係するかを明らかにすること。
• 鏡対となるカルラビ–ヤウ多様体のホモロジー部分空間とそのホッジ構造との関係を調査すること。
• ムカイの層のモジュライ空間理論を用いて、K3多様体の場合に幾何学的鏡対応が成立することを検証すること。

提案手法

• カルラビ–ヤウ多様体上の特殊ラグランジュトーラスのコンパクト化・複素化モジュライ空間を用いて、幾何学的鏡対を定義する。
• ストロミンジャー–ヤウ–ザスロ予想を基盤とし、鏡対称性を特殊ラグランジュファイブレーション上のT双対性として解釈する。
• 量子コホモロジーと相関関数を用いて、コンformal field theoryの量子モジュライ空間を定義する。
• ムカイベクトルとリーマン–ローチの公式を用いて、K3多様体上の層のモジュライ空間の次元を計算する。
• フーリエ–ムカイ変換を用いて、鏡となるK3多様体上の層の圏を関連付け、ホモロジーおよびホッジ構造のレベルで鏡対称性を検証する。
• シンプソンの結果を含む代数幾何学的手法を用いて、代数的K3多様体上の半安定層のモジュライ空間をコンパクト化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊ラグランジュトーラスファイブレーションの観点から、鏡対称性をどのように幾何学的に特徴付けられるか？
• RQ2 鏡対となるカルラビ–ヤウ多様体のホモロジー部分空間の間の正確な数学的関係は何か？
• RQ3 提案された幾何学的鏡対応下で、鏡対のホッジ構造はどのように関係するか？
• RQ4 K3多様体上の特殊ラグランジュ2サイクルのモジュライ空間をコンパクト化・複素化することで、鏡となる多様体が得られるか？
• RQ5 フーリエ–ムカイ変換は、鏡となるK3多様体上の層の圏間の幾何学的鏡写像をどの程度実現するか？

主な発見

• K3多様体上のムカイベクトル $v = (0, \nu, 0)$ を持つ単純層のモジュライ空間は次元2であり、多様体が代数的である場合にはシンプソンの定理によりコンパクトである。
• 代数的K3多様体に対して、$v = (0, \nu, 0)$ を持つ半安定層のモジュライ空間は、射影的多様体をなし、特殊ラグランジュトーラスモジュライ空間の自然なコンパクト化を提供する。
• 物理における鏡写像は、ムカイベクトル $v = (0, \nu, 0)$ を $(0, 0, 1)$ に写し、点の構造層に対応し、期待される鏡対応と一致する。
• 鏡空間上のホッジ構造は $H^2$ 内の $v^\bot / v$ として実現され、これはK3多様体上の層のモジュライ空間に対してムカイが発見したホッジ構造と一致する。
• 特殊ラグランジュセクション（ホモロジー類 $(1,0,1)$）の類を、鏡上の基本サイクルに写すフーリエ–ムカイ変換が存在し、この場合における幾何学的鏡写像が確認される。
• K3多様体に対する幾何学的鏡対応は、物理的鏡写像とムカイの双対性を統合し、特殊ラグランジュ2サイクルとゼロサイクルが鏡対称性の下で交換されることを示している。