[論文レビュー] The Moduli Space of Stables Maps with Divisible Ramification

Oliver Leigh|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分岐が固定された整数 r で割り切れるような安定写像のモジュライ空間の自然なコンpaktoリフィケーションを構成する。分岐条件は r 次根の正則切断を用いて定義され、Genus 0 の写像に対して完全な障害理論と仮想基本類を確立する。これにより、仮想局在を用いた r スピン・ハーウィッツ理論および r スピン ELSV 公式への応用が可能になる。

ABSTRACT

We develop a theory for stable maps to curves with divisible ramification. For a fixed integer $r>0$, we show that the condition of every ramification locus being divisible by $r$ is equivalent to the existence of an $r$th root of a canonical section. We consider this condition in regards to both absolute and relative stable maps and construct natural moduli spaces in these situations. We construct an analogue of the Fantechi-Pandharipande branch morphism and when the domain curves are genus zero we construct a virtual fundamental class. This theory is anticipated to have applications to $r$-spin Hurwitz theory. In particular it is expected to provide a proof of the $r$-spin ELSV formula [SSZ'15, Conj. 1.4] when used with virtual localisation.

研究の動機と目的

• 固定された整数 r で割り切れる分岐を持つ安定写像のコンパクトなモジュライ空間を構築すること。
• 分岐条件を正則切断の r 乗根を用いて再定式化し、特異曲線およびノードを持つ曲線の設定にまで拡張可能なコンパクト化を可能にすること。
• 分岐が r で割り切れる Genus 0 の写像に対して仮想基本類を構成すること。
• Fantechi-Pandharipande の分岐写像をこの設定に一般化すること。
• 仮想局在法を用いた r スピン ELSV 公式の証明の基盤を提供すること。

提案手法

• ドメイン曲線 C 上のラインバンドル L、L の切断 σ、および同型 e: L^r → ω_C ⊗ f^*ω_X^∨ を用い、e(σ^r) = δ となるように定義する。ここで δ は微分写像の双対である。
• 特異なドメインを扱い、適切なコンパクト化を保証するため、r-安定曲線（粗空間のノード上にバランスの取れた r-軌道的点を持つスタック）を用いる。
• Fantechi-Pandharipande の写像に類似した分岐写像を、分岐被覆の空間へと定義する。
• 安定写像のモジュライ空間から退化した被覆の空間への平坦写像を引き戻すことで、完全な障害理論を確立する。
• コーン構成と導来カテゴリを用いて、Genus 0 における仮想基本類を定義する。
• Genus 0 においてエタール基底変換を用い、部分的コンパクト化から全モジュライ空間への完全な障害理論を移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐が固定された整数 r で割り切れる（つまり、分岐除数が r で割り切れる）という条件は、安定写像のモジュライ空間においてどのように自然にコンパクト化可能か？
• RQ2 特異曲線およびノードを持つ曲線へ拡張可能な、分岐が r で割り切れるという条件の正しい幾何的定式化とは何か？
• RQ3 ドメインが Genus 0 の場合、分岐が r で割り切れる安定写像のモジュライ空間に対して仮想基本類を構成できるか？
• RQ4 この r 分岐が割り切れる文脈において、分岐写像はどのように一般化されるか？
• RQ5 このモジュライ空間と r スピン・ハーウィッツ理論との関係は何か。特に、r スピン ELSV 公式の証明においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 分岐が r で割り切れる安定写像のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}^{1/r}_{g}(X,d)$ は、コンパクトなデリーニュ＝ムンドー スタックである。
• この空間が空でないのは、r が $2g - 2 - d(2g_X - 2)$ を割り切る場合に限る。これは、トポロジカルな障害条件を満たしていることを保証する。
• 忘却写像 $\chi: \overline{\mathcal{M}}^{1/r}_{g}(X,d) \to \overline{\mathcal{M}}_{g}(X,d)$ は平坦であり、相対次元が 0 であり、r 分岐が割り切れる開部分集合上では埋め込みである。
• Genus 0 の場合、完全な障害理論が存在し、期待される次元 m に対応する次元 m の仮想基本類が得られる。
• 仮想基本類は、r 乗根データを用いた相対双対化複体の引き戻しに沿ったコーン構成によって構成される。
• 部分的コンパクト化からのエタール基底変換により、仮想基本類が Genus 0 における全モジュライ空間へと降下する。