[論文レビュー] The moduli stack of $G$-bundles

Jonathan Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、平坦かつファイニット・プロジェクティブな射 $X\to S$ 上の $G$-バンドルのモジュライスタック $\operatorname{Bun}⁡_{G}$ について、包括的な解説的記述を提供し、適切な条件下でその代数的性および滑らかさを確立する。$G$ が滑らかで $X\to S$ のファイバーが次元1であるとき、商スタック、$\operatorname{Hom}$ スタック、およびライジング・ジェルベの技法を用いて、$\operatorname{Bun}_{G}$ が $S$ 上で滑らかであることを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we give an expository account of the geometric properties of the moduli stack of $G$-bundles. For $G$ an algebraic group over a base field and $X o S$ a flat, finitely presented, projective morphism of schemes, we give a complete proof that the moduli stack $Bun_G$ is an algebraic stack locally of finite presentation over $S$ with schematic, affine diagonal. In the process, we prove some properties of $BG$ and Hom stacks. We then define a level structure on $Bun_G$ to provide alternative presentations of quasi-compact open substacks. Finally, we prove that $Bun_G$ is smooth over $S$ if $G$ is smooth and $X o S$ is a relative curve.

研究の動機と目的

• 曲線の族上の $G$-バンドルのモジュライスタック $\operatorname{Bun}_G$ の幾何的性質について、完全かつ自己完結的な解説を提供すること。
• 基底スキーム $S$ 上の代数的スタックとしての $\operatorname{Bun}_G$ の代数的性を確立し、明確な有限性および代表可能性の条件を提示すること。
• $G$ が滑らかで $X\to S$ のファイバーが次元1であるとき、$\operatorname{Bun}_G$ が $S$ 上で滑らかであることを、無限小の持ち上げとジェルベ論的技法を用いて証明すること。
• 既に専門家に知られている結果ではあるが、文献に欠落している点を埋めるために、$\operatorname{Bun}_G$ の代数的性に関する新しい詳細な証明を提示すること。
• ノルム的トランスフォーメーションによるレベル構造を定義し、それらを用いて $\operatorname{Bun}_G$ の準コンパクトな開部分スタックを提示すること。

提案手法

• 主 $G$-バンドルをモデル化し、それらの代数的性を確立するために、スキーム $Z$ 上の $G$-作用に関するスタック商 $[Z/G]$ を構成すること。
• 準射影的射の切断の層の代表可能性を証明し、$\operatorname{Hom}$ スタックを分析するための主要な技術的道具を提供すること。
• 無限小の持ち上げ基準を用いて $\operatorname{Bun}_G$ の滑らかさを検証し、問題をコホモロジー群の消滅に還元すること。
• $\mathcal{G}_0$- torsor $\mathcal{P}$ に関連するライジング・ジェルベ $\mathcal{Q}_{\mathcal{P}}$ を分析し、$H^2(X_{T_0}, {}_{\mathcal{P}}\mathcal{A}) = 0$ のときそのジェルベが中立的であることを示すこと。
• 障害層 $\mathcal{A}$ を $\mathfrak{g} \otimes_k \mathcal{I}$ として表現し、ここで $\mathcal{I}$ はノルム的トランスフォーメーションのイデアル層であり、随伴表現を用いて作用を定義すること。
• EGA や SGA からのコホモロジー的消滅結果を適用し、ファイバーが次元1であるとき $H^2(X_{T_0}, {}_{\mathcal{P}}\mathcal{A}) = 0$ が成り立つことを示し、滑らかさを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線の族上の $G$-バンドルのモジュライスタック $\operatorname{Bun}_G$ が代数的スタックであるための条件は何か？
• RQ2 $\operatorname{Bun}_G$ が基底 $S$ 上で滑らかであることは、無限小の持ち上げとコホモロジー的障害の観点からどのように特徴付けられるか？
• RQ3 ノルム的トランスフォーメーションを用いて定義されるレベル構造は、$\operatorname{Bun}_G$ の準コンパクトな開部分スタックを提示する上で果たす役割は何か？
• RQ4 ライジング・ジェルベ $\mathcal{Q}_{\mathcal{P}}$ の構造は、滑らかさの文脈における $H^2$-コホモロジーの消滅とどのように関係しているか？
• RQ5 ファイバーが次元2である場合、$\operatorname{Pic}_{X/S}$ が非還元的であると $\operatorname{Bun}_1$ が $S$ 上で滑らかでなくなる反例により、次元仮定の必要性が示されるのはなぜか？

主な発見

• モジュライスタック $\operatorname{Bun}_G$ は、$S$ 上で局所有限生成であり、スケーマティックかつアフィンな対角を持つ。
• スタック $\operatorname{Bun}_G$ は $S$ 上で有限生成の代数的部分スタックの開被覆を持つため、良好な局所的構造を持つ。
• $G$ が滑らかで $X\to S$ のファイバーが次元1であるとき、$\operatorname{Bun}_G$ は $S$ 上で滑らかである。これは、$H^2(X_{T_0}, {}_{\mathcal{P}}\mathcal{A}) = 0$ によりライジング・ジェルベ $\mathcal{Q}_{\mathcal{P}}$ が中立的であるためである。
• 準射影的射の切断の層は代表可能であり、これは $\operatorname{Bun}_G$ の構成における $\operatorname{Hom}$ スタックの分析に用いられる基盤的結果である。
• $\mathcal{G}_0$- torsor $\mathcal{P}$ を $G$-バンドルに持ち上げる障害は、コホモロジー群 $H^2((X_{T_0})_{\text{ét}}, {}_{\mathcal{P}}\mathcal{A})$ によって制御され、ファイバーが次元1のときこの群は消える。
• 反例により、$X\to S$ のファイバーが次元2で $\operatorname{Pic}_{X/S}$ が非還元的であるとき、$\operatorname{Bun}_1$ が $S$ 上で滑らかでないことが示され、次元仮定の必要性が裏付けられる。