[論文レビュー] The Monge Problem for distance cost in geodesic spaces

Stefano Bianchini, Fabio Cavalletti|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、距離コストを伴う測地的距離空間において、モンジュ問題が解をもつための条件を確立する。輸送問題を測地線に沿った1次元問題に還元することで、測地線に沿った源測度の分解が1次元ハウスドルフ測度に関して絶対連続であれば、$d_L$-循環的単調性だけでは十分でない場合でも輸送写像が存在することを示す。

ABSTRACT

We address the Monge problem in metric spaces with a geodesic distance: (X, d) is a Polish space and dL is a geodesic Borel distance which makes (X,dL) a non branching geodesic space. We show that under the assumption that geodesics are d-continuous and locally compact, we can reduce the transport problem to 1-dimensional transport problems along geodesics. We introduce two assumptions on the transport problem π which imply that the conditional probabilities of the first marginal on each geodesic are continuous or absolutely continuous w.r.t. the 1- dimensional Hausdorff distance induced by dL. It is known that this regularity is sufficient for the construction of a transport map. We study also the dynamics of transport along the geodesic, the stability of our conditions and show that in this setting dL-cyclical monotonicity is not sufficient for optimality.

研究の動機と目的

• 測地的距離 $d_L$ をコスト関数とする測地的距離空間におけるモンジュ問題を解くこと。
• 一般には不十分な $d_L$-循環的単調性が、最適性を示すために必要な条件を同定すること。
• 多次元最適輸送問題を測地線に沿った1次元輸送問題に還元すること。
• 測地線に沿った源測度の分解が1次元ハウスドルフ測度に関して絶対連続であることを保証することで、輸送写像の存在を確立すること。

提案手法

• 著者らは、非分岐性仮定と輸送計画 $\pi$ の循環的単調性を用いて、輸送集合 $\mathcal{T}_e$ を測地線の放射に分割し、測地線の内点の集合 $\mathcal{T}$ の分割 $R$ を形成する。
• 各点にその点を通る唯一の測地線セグメントを割り当てる写像 $g = g^+ \cup g^-$（レイトマップ）を定義し、これにより輸送問題を1次元成分に分解する。
• 各測地線に沿った源測度 $\mu$ の分解を分析し、条件付き確率が1次元ハウスドルフ測度に関して絶対連続であることを保証する2つの重要な仮定を導入する。
• 測地線に沿った流れを表す現在 $\dot{g}$ を用いた動的解釈を開発し、この流れにおける集合の時間発展を記述する輸送方程式を定式化する。
• 近似による距離空間の系列を通じて、非退化性条件の安定性を分析し、摂動に対して解のロバストネスを保証する。
• 選択原理と分解の正則性を組み合わせて輸送写像を構成し、提示された条件下で存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測地的距離空間と輸送計画にどのような条件を課すと、測地的距離をコスト関数とするモンジュ問題に解が存在するか？
• RQ2 非分岐測地的空間において、多次元最適輸送問題を測地線に沿った1次元輸送問題に還元できるか？
• RQ3 $d_L$-循環的単調性は測地的空間において最適性を保証するのに十分か、それとも追加の正則性条件が必要か？
• RQ4 測地線に沿った源測度の分解が1次元ハウスドルフ測度に関して絶対連続であることを保証する条件は何か？
• RQ5 現在 $\dot{g}$ で記述される測地線に沿った集合の動的変化は、輸送写像の存在性および安定性とどのように関係するか？

主な発見

• 源測度 $\mu$ が測地線に沿って $d_L$ によって誘導される1次元ハウスドルフ測度に関して絶対連続であれば、非分岐測地的空間においてモンジュ問題は解をもつ。
• 測地線が $d$-連続的かつ局所コンパクトであるという仮定のもとで、輸送問題を測地線に沿った1次元問題に還元することは有効である。
• $d_L$-循環的単調性が最適性を保証するとは限らず、特定の構造を持つ距離空間における反例によってそれが示された。
• 源測度 $\mu$ の分解が強く一貫するのは、各測地線において条件付き確率が1次元ハウスドルフ測度に関して絶対連続であるとき、かつそのときに限る。
• 非退化性条件の安定性は、距離空間の近似によって保たれ、摂動に対して解のロバストネスが保証される。
• 源測度 $\mu$ が測地線に沿って連続的または絶対連続的であるとき、2つの輸送計画 $\pi$ に関する仮定によって保証されるため、輸送写像が存在する。