[論文レビュー] The Monomial-Divisor Mirror Map

Paul S. Aspinwall, Brian Greene+1 more|ArXiv.org|Sep 30, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 49

ひとこと要約

この論文は、トーリック多様体内のカーミー・ヤウ超曲面の鏡対称性予想に従い、$H^{1,1}(\\-widehat{X})$ と $H^{d-1,1}(\ -\widehat{Y})$ の間の自然な同型写像として、単項式・除法鏡写像を構成する。これは、期待される鏡写像の微分として解釈され、非線形シグマモデルや他のCFTのモジュライ空間が解析接続によって接続されることを示唆する、完全な鏡写像の明確な形を予想する。

ABSTRACT

For each family of Calabi-Yau hypersurfaces in toric varieties, Batyrev has proposed a possible mirror partner (which is also a family of Calabi-Yau hypersurfaces). We explain a natural construction of the isomorphism between certain Hodge groups of these hypersurfaces, as predicted by mirror symmetry, which we call the monomial-divisor mirror map. We indicate how this map can be interpreted as the differential of the expected mirror isomorphism between the moduli spaces of the two Calabi-Yau manifolds. We formulate a very precise conjecture about the form of that mirror isomorphism, which when combined with some earlier conjectures of the third author would completely specify it. We then conclude that the moduli spaces of the nonlinear sigma models whose targets are the different birational models of a Calabi-Yau space should be connected by analytic continuation, and that further analytic continuation should lead to moduli spaces of other kinds of conformal field theories. (This last conclusion was first drawn by Witten.)

研究の動機と目的

• トーリック多様体内の鏡対称なカーマイ・ヤウ超曲面について、$H^{1,1}(\ -\widehat{X})$ と $H^{d-1,1}(\ -\widehat{Y})$ の間の自然な同型写像を構成すること。
• 単項式・除法鏡写像を、鏡対称なカーマイ・ヤウ多様体のモジュライ空間間の期待される鏡写像の微分として解釈すること。
• バチレブの極多面体構成と、3人目の著者の以前の予想に基づき、完全な鏡写像の明確な予想を提示すること。
• 被覆的同型な標的を持つ非線形シグマモデルのモジュライ空間が、解析接続によって接続されることを示すこと。他の conformal field theories（CFT）へも拡張される。

提案手法

• リフレクシブ多面体 $P$ 及びその極双対 $P^\circ$ を用いたバチレブのカーマイ・ヤウ超曲面の特徴付けを用い、自明な正則標準束とゴレンシュタイン特異点を保証する。
• ロアンの重み付きフェルマー超曲面に対する以前の研究を一般化し、$H^{1,1}_{\text{toric}}(\ -\widehat{X})$ と $H^{d-1,1}_{\text{poly}}(\ -\widehat{Y})$ 間の同型写像として単項式・除法鏡写像を構成する。
• 主判別式の二次多面体から得られる二次ファン構成を適用し、双対錐 $(P^\circ)^+$ を用いて、トーリック多様体のコンパクト化されたモジュライ空間を定義する。
• 拡張埋め込み $(P^\circ \cap N)_0 \subset N^+$ を導入し、$\widehat{V}$ 上の正則バンドルの全空間を含む高次元のトーリック多様体を構成する。
• ${\cal N}((P^\circ)^+)$ を refining する異なるファイナル $\Sigma$ を、非線形シグマモデルやランダウ・ジンブルグ理論に対応する物理的位相と関連付ける。
• 二次ファンの構造を用いて、コンパクト化されたモジュライ空間がすべてのGITコンパクト化を支配し、大複素構造極限を含むことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック多様体内のカーマイ・ヤウ超曲面に対して、$H^{1,1}(\ -\widehat{X})$ と $H^{d-1,1}(\ -\widehat{Y})$ 間の鏡対称性予想の同型写像を、どのように明示的に構成できるか？
• RQ2 単項式・除法鏡写像が、モジュライ空間間の鏡写像の微分として、幾何学的およびコhomologicalにどのように解釈できるか？
• RQ3 単項式・除法写像と以前の予想に基づき、モジュライ空間間の完全な鏡写像を明確に予想できるか？
• RQ4 非線形シグマモデルやランダウ・ジンブルグ理論を含む、さまざまな conformal field theories（CFT）の物理的位相が、モジュライ空間における解析接続によってどのように関連づけられるか？

主な発見

• 単項式・除法鏡写像は、リフレクシブ多面体の一般ケースにまで一般化された、$H^{1,1}(\ -\widehat{X})$ と $H^{d-1,1}(\ -\widehat{Y})$ 間の自然な同型写像として構成された。
• この写像は、鏡対称なカーマイ・ヤウ多様体のモジュライ空間間の期待される鏡写像の微分として特定された。
• バチレブの極多面体構成と、3人目の著者の以前の予想に基づき、完全な鏡写像の明確な予想が提示された。
• 被覆的同型な標的を持つ非線形シグマモデルのモジュライ空間が、解析接続によって接続されていることが示された。
• さらなる解析接続により、ランダウ・ジンブルグ理論を含む他の conformal field theories（CFT）のモジュライ空間が、ウィッテンの予想に従って得られた。
• 二次ファン構成により、すべてのGITコンパクト化を支配し、大複素構造極限を含むコンパクト化されたモジュライ空間が得られた。