[論文レビュー] The most visited sites of biased random walks on trees

Yueyun Hu, Zhan Shi|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、上昇的ガルトン＝ウォーソン木上の偏り付きランダムウォークの、アニュールド測度下での最も訪問回数の多いサイトの分布のタイトネスを研究する。この研究では、サイトの訪問頻度がランダムなポテンシャル関数の最小化点付近に集中することを示し、非一様的かつ非一様的でない非一様的ランダムウォークの最初の非自明な例を提供する。これは、1次元の対称ランダムウォークに対してエルデシュとレヴェシュが提起した問題を解決するものである。

ABSTRACT

We consider the slow movement of randomly biased random walk $(X_n)$ on a supercritical Galton--Watson tree, and are interested in the sites on the tree that are most visited by the biased random walk. Our main result implies tightness of the distributions of the most visited sites under the annealed measure. This is in contrast with the one-dimensional case, and provides, to the best of our knowledge, the first non-trivial example of null recurrent random walk whose most visited sites are not transient, a question originally raised by Erdős and Révész [11] for simple symmetric random walk on the line.

研究の動機と目的

• 偏り付きランダムウォークが上昇的ガルトン＝ウォーソン木上で示す長期的挙動、特に最も訪問回数の多いサイトの挙動を分析すること。
• エルデシュとレヴェシュが1次元の対称ランダムウォークに対して提起した、零再帰的ランダムウォークの「最も訪問回数の多いサイト」が非一様的であるかどうかという問題に答えること。
• アニュールド測度下での最も訪問回数の多いサイトの分布のタイトネスを確立すること。
• 偏り付きランダムウォークに関連するランダムポテンシャル関数を用いて、最も訪問回数の多いサイトの極限的位置を特徴づけること。
• アニュールド測度下で、最も訪問回数の多いサイトが、ポテンシャル関数の最小化点に概収束することを証明すること。

提案手法

• 遷移確率の重み $\omega(x,y)$ を用いて、ガルトン＝ウォーソン木上の偏り付きランダムウォークをモデル化し、各頂点で独立同分布に分布する環境を表現する。
• 根からのパスに沿った遷移確率の対数比を用いて、ランダムポテンシャル $V(x)$ を定義し、環境と分岐ランダムウォーク構造を結びつける。
• 環境 $\omega$ とウォーク経路の両方を統合するアニュールド測度 $\mathbb{P}$ を用いて、典型的な挙動を分析する。
• 漸近的スケーリングを確立する：$|X_n| / (\log n)^2 \to X_\infty$ は分布収束であり、$\max_{i\leq n} |X_i| / (\log n)^3 \to c_1$ はほとんど確実に成り立つ。これは緩やかな再帰性を示唆する。
• 局所時間 $L_n(x)$ と最も訪問回数の多いサイト $\mathscr{A}_n$（時刻 $n$ までに最大の局所時間を達成する頂点の集合）を定義し、それらの位置をポテンシャル $U(x)$ に関連付ける。
• アニュールド測度下で、最も訪問回数の多いサイト $x_n$ が $U(x_n) \to \inf_{x\in\mathbb{T}} U(x)$ ほぼ確実に成り立つことを証明し、これは $U$ の最小化点に収束することを意味する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガルトン＝ウォーソン木上の零再帰的偏り付きランダムウォークにおいて、アニュールド測度下で最も訪問回数の多いサイトは一様的か、再帰的か？
• RQ2 非一様的ランダムウォークの最も訪問回数の多いサイトは、1次元対称ケースとは異なり、無限に発散せず、有界集合に集中する可能性があるか？
• RQ3 最も訪問回数の多いサイトの極限分布は、ランダムポテンシャル関数 $U(x)$ に対してどのように記述できるか？
• RQ4 アニュールド測度下で、最も訪問回数の多いサイトの分布はタイトネスを示すか？ もしそうであれば、その極限位置は何かが決定するか？
• RQ5 ランダムポテンシャル $U(x)$ は、木における最も訪問回数の多い頂点の漸近的局在化をどのように支配するか？

主な発見

• アニュールド測度下で、最も訪問回数の多いサイトの分布はタイトである。これは、分布的に無限に発散しないことを意味する。
• 最も訪問回数の多いサイトは、ほとんど確実にポテンシャル関数 $U(x)$ の最小化点の集合 $\mathscr{U}_{\min}$ に分布収束する。すなわち、$n \to \infty$ のとき $\mathbb{P}^*(x_n \in \mathscr{U}_{\min}) \to 1$ である。
• 頂点 $x$ における漸近的局所時間は $L_n(x) \sim \frac{n}{\log n} \cdot \frac{\sigma^2}{4D_\infty} e^{-U(x)}$ とスケーリングされ、$U(x)$ が訪問頻度の相対的割合を決定する。
• ウォークの位置は分布的に $|X_n| \sim (\log n)^2 X_\infty$ と成長し、時刻 $n$ までの最大移動距離はほとんど確実に $c_1 (\log n)^3$ に漸近する。
• ランダム環境から導かれるポテンシャル関数 $U(x)$ は、最も訪問回数の多いサイトの局在化を支配し、$x_n$ は $U(x)$ を最小化する頂点に収束する。
• 本結果は、最も訪問回数の多いサイトが非一様的でない零再帰的ランダムウォークの最初の非自明な例を提供し、エルデシュとレヴェシュが提起した長年の未解決問題を解決する。