[論文レビュー] The motivic t-structure for relative 1-motives

Simon Pepin Lehalleur|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、noetherianかつ有限次元のスキーム S 上の相対的コホロロジー的 1-モチーフの rational 係数を持つ三角的圏に対して、非退化したモチービック t-構造を構成する。この t-構造のハート、MM¹(S) は、S が正則であるとき、Deligne 1-モチーフの圏を完全忠実に含むことが示され、DA¹(S) ⊂ DA^{coh}(S) の包含関手の右随伴として定義されるモチービックピカード関手がコンパクト対象を保存することを証明する。

ABSTRACT

We construct and study a candidate for the standard motivic t-structure on the triangulated category of relative cohomological 1-motives with rational coefficients over a noetherian finite dimensional scheme S. This t-structure is defined as a generated t-structure, and we show it is non-degenerate. We relate its heart MM^1(S) with Deligne 1-motives over S; in particular, when S is regular, the category of Deligne 1-motives embeds in MM^1(S) fully faithfully. We also study the inclusion of DA^1(S) into the larger category DA^{coh}(S) of relative cohomological motives on S, and prove that its right adjoint, the motivic Picard functor, preserves compact objects.

研究の動機と目的

• noetherian かつ有限次元のスキーム S 上の相対的コホロロジー的 1-モチーフの rational 係数を持つ三角的圏に対して、標準的モチービック t-構造の候補を定義すること。
• この t-構造が非退化的であり、適切なクラスの対象によって生成されることを示すこと。
• この t-構造のハート、MM¹(S) と S 上の Deligne 1-モチーフの圏との関係を特定すること。
• DA¹(S) ⊂ DA^{coh}(S) の包含関手、S 上の相対的コホロロジー的モチーフの大きな圏への包含関係を研究すること。
• この包含関手の右随伴であるモチービックピカード関手がコンパクト対象を保存することを証明すること。

提案手法

• 相対的コホロロジー的 1-モチーフの rational 係数を持つ三角的圏において、特定の生成子の集合を用いて生成された t-構造としてモチービック t-構造を定義する。
• 生成子のクラスのホモロジー的およびコホロロジー的性質を用いて、t-構造の非退化性を確立する。
• カテゴリカルな埋め込みと完全忠実性の基準を用いて、MM¹(S) と Deligne 1-モチーフとの関係を分析する。
• 導来圏の技法とコンパクト対象の性質を用いて、包含関手 DA¹(S) ⊂ DA^{coh}(S) を研究する。
• モチービックピカード関手を包含関手の右随伴として同定し、双対性および随伴関手の定理を用いて、コンパクト対象の保存を証明する。
• 解析は、S が noetherian かつ有限次元であるという仮定に基づき、構成における有限性条件を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 noetherian かつ有限次元のスキーム S 上の相対的コホロロジー的 1-モチーフの rational 係数を持つ三角的圏に対して、標準的モチービック t-構造が存在するか？
• RQ2 この t-構造は非退化的であり、明確に定義された対象のクラスによって生成されるか？
• RQ3 S が正則であるとき、この t-構造のハート MM¹(S) と S 上の Deligne 1-モチーフの圏との関係はいかなるものか？
• RQ4 DA¹(S) から DA^{coh}(S) への包含関手の随伴関手およびコンパクト対象に関する挙動はどのようなものか？
• RQ5 この包含関手の右随伴であるモチービックピカード関手が、コンパクト対象を保存するか？

主な発見

• 相対的コホロロジー的 1-モチーフの rational 係数を持つ三角的圏に対して、生成された t-構造としてモチービック t-構造が構成され、非退化性が証明された。
• S が正則であるとき、Deligne 1-モチーフの圏は MM¹(S) に完全忠実に埋め込まれ、強いカテゴリカルな関係が確立された。
• t-構造のハート MM¹(S) は、モチービック文脈における 1-モチーフの研究の自然な枠組みを提供する。
• 包含関手 DA¹(S) → DA^{coh}(S) は右随伴を備え、それがモチービックピカード関手として同定された。
• モチービックピカード関手はコンパクト対象を保存する。これは導来圏の文脈における重要な有限性性質である。
• これらの結果は、1-モチーフの文脈におけるモチービック t-構造の理解を拡張し、この文脈における標準的モチービック予想を支持する。