[論文レビュー] The Moyal Momentum algebra applied to (theta)-deformed 2d conformal models and KdV-hierarchies

A. Boulahoual, M. B. Sedra|ArXiv.org|Aug 27, 2002

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Das-Popowicz Moyal運動量代数を新規応用し、θ-変形2次元 conformal field theories（特に sl₂-Liouville および sl₃-Toda モデル）を構成するとともに、KdV や Boussinesq ハイアーチーを非可換設定に一般化する。θ-Liouville モデルの中心電荷 cₜₕₑₜₐ = 1 + 24θ² を導出し、原始性条件を Moyal 運動量空間におけるドレッシングゲージ対称性として幾何学的に解釈し、ゲージ群の明示的計算と、場の再定義における制約を提示する。

ABSTRACT

The properties of the Das-Popowicz Moyal momentum algebra that we introduce in hep-th/0207242 are reexamined in details and used to discuss some aspects of integrable models and 2d conformal field theories. Among the results presented, we setup some useful convention notations which lead to extract some non trivial properties of the Moyal momentum algebra. We use the particular sub-algebra sl(n)-{Sigma}_{n}^{(0,n)} to construct the sl(2)-Liouville conformal model and its sl(3)-Toda extension. We show also that the central charge, a la Feigin-Fuchs, associated to the spin-2 conformal current of the (theta)-Liouville model is given by c(theta)=1+24.theta^{2}. Moreover, the results obtained for the Das-Popowicz Mm algebra are applied to study systematically some properties of the Moyal KdV and Boussinesq hierarchies generalizing some known results. We discuss also the primarity condition of conformal $w_θ$-currents and interpret this condition as being a dressing gauge symmetry in the Moyal momentum space. Some computations related to the dressing gauge group are explicitly presented.

研究の動機と目的

• Das-Popowicz Moyal 運動量代数およびその部分代数を体系的に研究し、θ-変形 conformal field theories を構成すること。
• スター積および Moyal ブラケットを用いて、slₙ-KdV および Boussinesq ハイアーチーを非可換 Moyal 運動量空間に一般化すること。
• conformal wₜₕₑₜₐ-カレントの原始性条件を、運動量空間におけるゲージ対称性として幾何学的に解釈し、場の再定義のための幾何的枠組みを提供すること。
• Moyal 変形設定における共変性および原始的場構造を保証するドレッシングゲージ群の明示的形を導出すること。
• 既知の DIZ 共変化理論を非可換 Moyal フレームワークに拡張し、高次計算および新しい θ-変形フローを含む、新たな構造を同定すること。

提案手法

• 本研究は、運動量空間におけるスター積を用いて定義される Das-Popowicz Moyal 運動量代数を用い、標準的な擬微分 Lax 演算子の代わりに形式 𝒮ₙ = ∑uₙ₋ⱼ ⋆ pʲ の運動量 Lax 演算子を導入する。
• slₙ − ŝΣₙ⁽⁰ ⁺ⁿ⁾ の部分代数を用いて、方程式 ∂∂̄ϕ = (2/θ)e^(-ϕ/θ) および ∂∂̄ϕᵢ = Aᵢe^(-½θ⁻¹(ϕ₁ + αᵢϕ₂)) によって、θ-変形 sl₂-Liouville および sl₃-Toda モデルを構成する。
• Feigin-Fuchs 形式を用いて θ-Liouville モデルの中心電荷を計算し、cₜₕₑₜₐ = 1 + 24θ² を得る。
• ドレッシングゲージ群 {K[a]} を、非原始的 Lax 演算子を原始的ものに写像する変換として導入し、slₙ 動作における不変性から制約を導出する。
• Di Francesco-Itzykson-Zuber (DIZ) に類似した共変化技法を用いるが、Moyal スター積に適合させ、一貫性のある場の再定義を保証する。
• sl₃ および sl₄ の場合について明示的計算を実施し、有限個のゲージパラメータ aₖ のみが適切に定義されることを示し、線形切断を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Das-Popowicz Moyal 運動量代数を、sl₂-Liouville や sl₃-Toda モデルなどの θ-変形2次元 conformal field theories を構成するためにどのように用いることができるか？
• RQ2 θ-変形 Liouville モデルにおける中心電荷の形は何か？また、非可換パラメータ θ に依存する仕組みは？
• RQ3 Moyal 運動量空間における conformal wₜₕₑₜₐ-カレントの原始性条件は、どのように幾何学的に実現されるか？
• RQ4 Moyal 変形 KdV や Boussinesq ハイアーチーにおいて、共変性および原始的場構造を保証するドレッシングゲージ群の明示的形と制約は何か？
• RQ5 DIZ 共変化法を Moyal スター積を用いて非可換設定に一般化することは可能か？また、どのような新しい構造が出現するか？

主な発見

• θ-Liouville モデルの中心電荷は cₜₕₑₜₐ = 1 + 24θ² として導出され、非可換パラメータ θ に対して2次関数的依存性を示す。
• θ-変形 sl₃-Boussinesq ハイアーチーが明示的に構成され、2番目のフローは (u₂, v₃)ₜ₂ = -2/3(-3v′₂, u₂u′₂ + θ²u′′′₂) で与えられ、古典的フローに対する非可換補正が明らかになる。
• conformal カレントの原始性条件は、'ドレッシングゲージ軌道' 上のゲージ選択として解釈され、関連するゲージ群 {K[a]} はパラメータ aᵢ に対する制約から明示的に決定される。
• ドレッシングゲージ群は、slₙ-Lax 演算子の場の再定義における不変性を保証し、有限個のパラメータ aₖ のみが適切に定義されるため、線形切断を回避する。
• 有限次元のゲージ群を前提としているため、非局所性や非整数的挙動を回避でき、sl₃ および sl₄ の明示的計算と整合的である。
• 分数次の運動量のべき p^(a/b) を Moyal 代数の一般化として提案し、修正された Leibniz 則を用いることで、非可換可積分系における分数スピン場を記述可能となる可能性がある。