[論文レビュー] The Mukai pairing, I: a categorical approach

Andrei Căldăraru, Simon Willerton|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 38

ひとこと要約

本稿は、滑らかでコンpactな空間のHochschildホモロジーにおけるMukai形式のカテゴリカルなアプローチを導入し、K3表面におけるMukai形式の一般化を行う。積分変換のファンクター性および随伴性を確立し、この文脈におけるチャーン類の定義を行い、半リーマン・ローチの公式とCardy条件が、空間とカーネルからなる2-圏の枠組みの中で普遍的に成り立つことを証明する。

ABSTRACT

We study the Hochschild homology of smooth spaces, emphasizing the importance of a pairing which generalizes Mukai's pairing on the cohomology of K3 surfaces. We show that integral transforms between derived categories of spaces induce, functorially, linear maps on homology. Adjoint functors induce adjoint linear maps with respect to the Mukai pairing. We define a Chern character with values in Hochschild homology, and we discuss analogues of the Hirzebruch-Riemann-Roch theorem and the Cardy Condition from physics. This is done in the context of a 2-category which has spaces as its objects and integral kernels as its 1-morphisms.

研究の動機と目的

• 滑らかでコンpactな空間のHochschildホモロジーにおけるMukai形式をカテゴリカルな枠組みを用いてK3表面におけるMukai形式に一般化すること。
• 導来圏間の積分カーネルが、合成に関してファンクター的になるように、Hochschildホモロジーに線形写像を誘導することを確立すること。
• 随伴関手がMukai形式に関して随伴写像を誘導することを示すこと。
• Hochschildホモロジー値をとるチャーン類の定義を行い、HKR同型を介して古典的なものと関連付けること。
• 半ヒルツェブルッフ・リーマン・ローチの定理およびオープンクローズドトポロジカル量子場理論におけるCardy条件が、導来圏の枠組みの中で普遍的に成り立つことを示すこと。
• 空間を対象とし、積分カーネルを1-射とする2-圏（V𝐵ar）を構築し、これらの構造の体系的かつ包括的な研究を可能にすること。

提案手法

• 空間XのHochschildコホモロジーおよびホモロジーを、X×Xの導来圏におけるExt群を用いて定義する：HH^i(X) = Hom^i(Id_X, Id_X)，HH_i(X) = Hom^{-i}(Σ_X^{-1}, Id_X)。
• 非退化なMukai形式⟨−,−⟩_M を HH_•(X) 上に導入し、コホモロジーにおけるPoincaré形式を一般化する。
• 空間を対象とし、積分カーネルを1-射とする2-圏V𝐵arを構成する。対角および反 canonical バンドルを用いて、単位およびSerre双対性カーネルを定義する。
• 反射的親切性（reflexive politeness）の概念を用い、カーネル間の随伴がホモロジー上でも整合性を持つようにし、ファンクター性を保証する。
• カーネルE: pt → X が単位1 ∈ HH_0(pt) に作用するのを用いて、ch: K_0(X) → HH_0(X) としてチャーン類を定義する。
• チャーン類のペアリングがオイラー特性に等しいことを証明する：⟨ch(E), ch(F)⟩_M = χ(E,F) = ∑(−1)^i dim Ext^i(E,F)。これにより、半ヒルツェブルッフ・リーマン・ローチの定理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K3表面におけるMukai形式を、任意の滑らかでコンpactな空間のHochschildホモロジーへ、カテゴリカルな枠組みを用いてどのように一般化できるか？
• RQ2 導来圏間の積分変換が、合成に関してファンクター的になるように、Hochschildホモロジーに線形写像を誘導するか？
• RQ3 Hochschildホモロジーに自然なチャーン類が存在し、HKR同型を介して古典的なものに一致するか？
• RQ4 Mukai形式がカップ積に置き換わるこの一般化された設定において、半ヒルツェブルッフ・リーマン・ローチの公式が成り立つか？
• RQ5 オープンクローズドTQFTにおけるCardy条件が、非カルラヤ空間に対しても、この導来カテゴリカル枠組みの中で自然に満たされるか？

主な発見

• Hochschildホモロジー上のMukai形式は非退化であり、コホモロジーにおけるPoincaré形式を一般化する。
• 積分カーネルは、カーネルの合成に関してファンクター的に、Hochschildホモロジーに線形写像を誘導する。
• 随伴関手は、Mukai形式に関して随伴線形写像を誘導し、双対性の整合性を保証する。
• チャーン類写像 ch: K_0(X) → HH_0(X) は適切に定義されており、HKR同型を介して古典的チャーン類と一致する。
• 半ヒルツェブルッフ・リーマン・ローチの公式が成り立つ：⟨ch(E), ch(F)⟩_M = ∑(−1)^i dim Ext^i(E,F)。これにより、ペアリングとオイラー特性が結びつけられる。
• オープンクローズドTQFTにおけるCardy条件は、すべてのカーネルが反射的親切性を満たすため、非カルラヤ空間に対しても、この枠組みの中で自動的に満たされる。