[論文レビュー] The multiplicative unitary as a basis for duality

Ann Maes, Alfons Van Daele|ArXiv.org|May 27, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、BaajとSkandalisの制限的な正則性および不可約性の条件を置き換える一般化された乗法的ユニタリに基づく、量子群双対性の新しい枠組みを提案する。『量子群フレーム』と呼ばれる特定の構造的公理を持つものから、群に類似した性質を有する二つの双対な量子対象が導かれる。この構成は、量子$az+b$-群と局所コンパクト群とのクロス積を用いて示される。

ABSTRACT

The classical duality theory associates to an abelian group a dual companion. Passing to a non-abelian group, a dual object can still be defined, but it is no longer a group. The search for a broader category which should include both the groups and their duals, points towards the concept of quantization. Classically, the regular representation of a group contains the complete information about the structure of this group and its dual. In this article, we follow Baaj and Skandalis and study duality starting from an abstract version of such a representation: the multiplicative unitary. We suggest extra conditions which will replace the regularity and irreducibility of the multiplicative unitary. From the proposed structure of a "quantum group frame", we obtain two objects in duality. We equip these objects with certain group-like properties, which make them into candidate quantum groups. We consider the concrete example of the quantum az+b-group, and discuss how it fits into this framework. Finally, we construct the crossed product of a quantum group frame with a locally compact group.

研究の動機と目的

• Kac代数や既存の量子群フレームワークの制限を超えて、非アーベル量子群のより広範な双対性理論を構築すること。
• BaajとSkandalisの乗法的ユニタリ手法における古典的正則表現および不可約性の条件を、新たな公理集合に置き換えること。
• 二つの双対な量子対象が導かれる基礎的構造として『量子群フレーム』を定義すること。
• これらの双対対象が群に類似した性質を有することを示し、局所コンパクト量子群の妥当な候補となるようにすること。
• 量子$az+b$-群と局所コンパクト群とのクロス積構成を用いて、この枠組みの適用可能性を示すこと。

提案手法

• 局所コンパクト群$G$に関連する乗法的ユニタリ作用素$W_G$に着目し、それが群の完全な代数的および位相的構造を符号化すること。
• ヒルベルト空間$\mathcal{H} \otimes \mathcal{H}$上に定義された抽象的な乗法的ユニタリ$W$を導入し、コアソシエーションおよび正規化条件を満たすことを仮定する。
• 正則性および不可約性を置き換える新しい公理集合を提示し、乗法的ユニタリを用いて『量子群フレーム』を定義する。
• フレームから二つのフォンノイマン代数$M^1$および$\widehat{M^1}$を構成し、変形された代数的およびコアルゲブラ的構造を備える。
• 量子群フレームと局所コンパクト群とのクロス積構成を用い、非可換なテンソル積代数構造をユニタリ$U$によって変形することで、新たな$M^1$代数を導出する。
• 非可換交換関係およびユニタリ実装（例：$U$）を用いて、$\Phi^1$および$\widehat{\Phi^1}$の余乗法的構造を元の構造と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則性や不可約性に依存せずに、一般化された乗法的ユニタリから量子群における双対性を再構築する方法は何か？
• RQ2 乗法的ユニタリに課すべき公理的条件は何か？その条件下で、群に類似した性質を有する二つの双対な量子対象が存在することを保証する。
• RQ3 量子$az+b$-群は、この新しい量子群フレームの枠組みにおいてどのように位置づけられるか？
• RQ4 量子群フレームと局所コンパクト群とのクロス積は、一貫して定義され、特徴づけられるか？
• RQ5 ユニタリ$U$は、クロス積構成における代数的およびコアルゲブラ的構造の変形において果たす役割は何か？

主な発見

• 提案された量子群フレーム構造により、双対性に置かれた二つのフォンノイマン代数$M^1$および$\widehat{M^1}$が得られ、これらは群に類似した性質を有する。
• $M^1$上の余乗法的構造$\Phi^1$は、$\Phi^1(m \otimes 1) = \Phi(m)_{13}$として実現され、元の余乗法的構造$\Phi$と整合性を示す。
• 任意の$p \in G$に対して、$\lambda_p$の像上の余乗法的構造は$\Phi^1(U^* (1 \otimes \lambda_p) U) = (U^* \otimes U^*) \Phi(\lambda_p)_{24} (U \otimes U)$で与えられ、変形されたコアルゲブラ的構造が確認される。
• 双対代数$\widehat{M^1}$は、代数的構造が自明（$\widehat{M} \otimes \widehat{M^0}$）であるが、その余乗法的構造は$\widehat{\Phi^1}(\widehat{m} \otimes f) = (\iota \otimes \tau \otimes \iota)(\widehat{\Phi} \otimes \widehat{\Phi^0})(\widehat{m} \otimes f)$で変形されており、ここで$\tau$はねじれた反転作用素である。
• 関数$h_i(p) = (f_i \star \widetilde{g})(p)$は、フォーリエ代数$A(G)$に属し、$p \in K$に対して$\sum_{i=1}^n h_i(p) = 1$を満たし、$h_i$は$E_i$に台を持つことが示された。
• $M^1$を$M$と$\mathcal{M}(G)$のクロス積として構成する際、ユニタリ$U$による非自明なテンソル積代数構造の変形が実現されている。