[論文レビュー] The Multivariate Hawkes Process in High Dimensions: Beyond Mutual Excitation

Shizhe Chen, Ali Shojaie+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 66被引用数 46

ひとこと要約

本稿は、相互励起や線形リンク関数を超える高次元における多次元 Hawkes プロセスのための新しい解析的枠組みを導入する。鋭利な薄型化過程表現とカップリング構成を用いることで、2次統計量の濃縮不等式を導出し、抑制的および非線形ダイナミクス下でもクロス・コバリアンス推定器の厳密な解析を可能にする。

ABSTRACT

The Hawkes process is a class of point processes whose future depends on their own history. Previous theoretical work on the Hawkes process is limited to a special case in which a past event can only increase the occurrence of future events, and the link function is linear. However, in neuronal networks and other real-world applications, inhibitory relationships may be present, and the link function may be non-linear. In this paper, we develop a new approach for investigating the properties of the Hawkes process without the restriction to mutual excitation or linear link functions. To this end, we employ a thinning process representation and a coupling construction to bound the dependence coefficient of the Hawkes process. Using recent developments on weakly dependent sequences, we establish a concentration inequality for second-order statistics of the Hawkes process. We apply this concentration inequality to cross-covariance analysis in the high-dimensional regime, and we verify the theoretical claims with simulation studies.

研究の動機と目的

• 相互励起および線形リンク関数に制限された Hawkes プロセス解析における理論的ギャップを埋める。
• 抑制的相互作用および非線形応答関数を有する Hawkes プロセスの理論的解析を可能にする。
• 高次元多次元 Hawkes プロセスにおける2次統計量を研究するための汎用的ツールを開発する。
• 弱い依存性仮定の下でクロス・コバリアンス推定器の濃縮不等式を確立する。
• 高次元設定におけるクロス・コバリアンス関数のスムージング推定器に対する理論的保証を提供する。

提案手法

• クラスタープロセス構成に依存しない、薄型化過程表現を用いて Hawkes プロセスをモデル化する。
• Hawkes プロセスの依存係数をバウンドするためのカップリングプロセスを構築する。
• 弱い依存列に関する最近の理論を適用し、2次統計量の濃縮不等式を導出する。
• カーネルスムージングを用いて Hawkes プロセスのクロス・コバリアンス関数を推定する。
• 有界区間上の離散化グリッドにおける和集合不等式を用いて、推定器の一様収束性を確立する。
• バイアスと分散のバランスを最適化するためのバンド幅 $ h $ を最適化し、収束速度 $ T^{-\frac{r+0.5}{5r+2}} $ を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互励起および線形リンク関数の仮定を超えて、Hawkes プロセスの2次統計量に対する理論的保証を確立できるか？
• RQ2 抑制的効果が存在する場合、多次元 Hawkes プロセスの依存構造をどのようにバウンドできるか？
• RQ3 高次元設定におけるクロス・コバリアンス関数のスムージング推定器の収束速度は何か？
• RQ4 非線形および抑制的ダイナミクス下で、Hawkes プロセスのための濃縮不等式を導出できるか？
• RQ5 提案手法は、非線形性および抑制的相互作用に対して、既存手法と比較してどのようにロバストか？

主な発見

• 相互励起や線形リンク関数を仮定しない、Hawkes プロセスの2次統計量のための新しい濃縮不等式が確立された。
• クロス・コバリアンス関数のスムージング推定器の収束速度は $ \mathcal{O}(T^{-\frac{r+0.5}{5r+2}}) $ であり、$ r \geq 1 $ を満たす。
• 区間 $ [-B, B] $ 上での推定クロス・コバリアンス関数の一様誤差バウンドは、高確率で $ \mathcal{O}(T^{-\frac{r+0.5}{5r+2}}) $ である。
• すべての $ p \times p $ クロス・コバリアンスペアにおける高確率的一致収束が達成され、確率バウンドは $ T^{r/(5r+2)} $ に対して指数的に減少する。
• 反例を通じて、標準的な安定性仮定が成立しない場合でも、プロセスが安定であることが示されたことから、理論的枠組みが抑制的効果に対してロバストであることが実証された。
• 数値実験により、理論的収束速度が妥当であり、高次元設定下での推定器の性能が検証された。