[論文レビュー] The Necessary and Sufficient Conditions for Transformation from Dirac Representation to Foldy-Wouthuysen Representation

В. П. Незнамов|ArXiv.org|Apr 2, 2008

Matrix Theory and Algorithms被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、相対論的量子力学におけるディラック表現からフォールディ・ウーストゥイゼン（FW）表現への変換の必要十分条件を確立する。ブロック対角形式のハミルトニアン変換が必須であることを証明し、式（6）で与えられる波動関数変換則が十分条件であることを示す。本研究では、参考文献[14]–[17]で提案された従来のユニタリ変換が十分条件を満たさないため、正しくないFW変換であることが明らかになり、正しいFW類似変換を特定する厳密な基準を提供する。

ABSTRACT

The paper describes conditions for transformation from the Dirac representation to the Foldy-Wouthuysen representation. The necessary condition is the block-diagonal transformation of Hamiltonian relative to the upper and lower components of the wave function. The sufficient condition is the wave function transformation law described by relation (6). It has been demonstrated that the unitary transformations offered by the authors of the papers [14], [15], [16], [17] do not satisfy the sufficiency condition (6) and, hence, they are not the Foldy-Wouthuysen transformations. In applications, the matrix elements of any operator in the FW representation can be calculated, according to (6), using the normalized two-component wave functions in the Dirac representation known for the given problem.

研究の動機と目的

• ディラック表現からフォールディ・ウーストゥイゼン表現への変換が有効であるための明確な数学的条件を定義すること。
• 文献における、どのユニタリ変換が真のFW変換として適切に分類されるかという曖昧さを解消すること。
• 正しいFW変換と、必要な波動関数変換則を満たさない変換を区別する基準を提供すること。
• ディラック表現からの正規化された二成分波動関数を用いて、FW表現における行列要素を正確に計算することを可能にすること。

提案手法

• ハミルトニアンがディラックスピノルの上付き成分と下付き成分に関してブロック対角形式に変換されることが、必要条件として導出される。
• 式（6）で表される波動関数変換則を通じて十分条件を同定し、二成分スピノルの変換方法を規定する。
• 導出された条件を用いて、参考文献[14]–[17]で提案された従来のユニタリ変換を評価する。
• 式（6）の変換則に従い、ディラック表現からの正規化された二成分波動関数を用いて、FW表現における行列要素を計算する。
• 変換演算子の構造を分析し、十分条件を満たしているかを検証する。
• 式（6）を満たさない変換は、ユニタリであっても適正なFW変換とは見なせないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ変換がディラック表現から有効なフォールディ・ウーストゥイゼン変換として成立するためには、どのような条件を満たす必要があるか？
• RQ2 なぜ一部のユニタリ変換が、以前はFW変換と呼ばれてきたが、真のFW変換の基準を満たさないのか？
• RQ3 ディラック表現からの波動関数を用いて、フォールディ・ウーストゥイゼン表現における行列要素を一貫して計算するにはどうすればよいか？
• RQ4 波動関数変換則がFW表現を定義する上で果たす正確な役割は何か？
• RQ5 文献における正しいFW変換と誤りのある変換を明確に区別するための体系的な基準を確立できるか？

主な発見

• 変換後の基底においてハミルトニアンがブロック対角構造を取ることは、有効なフォールディ・ウーストゥイゼン変換の必要条件である。
• 式（6）で記述される波動関数変換則は、変換が適正なFW変換と分類されるための十分条件である。
• 参考文献[14]–[17]で提案されたユニタリ変換は十分条件（6）を満たさないため、有効なフォールディ・ウーストゥイゼン変換とは言えない。
• 変換則（6）が適用される限り、ディラック表現からの正規化された二成分波動関数を用いて、FW表現における行列要素を信頼性高く計算できる。
• 本研究は、正しいFW変換と誤ったものを明確に区別する数学的に厳密な基準を確立し、長年の文献上の曖昧さを解消した。
• 結果として、ユニタリ性だけではFW変換とは認められないことが明確になった。式（6）に従う特定の波動関数変換則への従属が不可欠である。