[論文レビュー] The Nicolas and Robin inequalities with sums of two squares

William D. Banks, Derrick Hart+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、リーマン予想をテストするための鍵となるニコラス不等式とルービン不等式が、2つの平方数の和として表せる自然数のうち、有限個を除き成立することを確立している。素因数分解の制約によって定義される広範な集合のクラスを分析することで、これらの不等式を満たさない数は有限個であることが示され、特に2つの平方数の和のケースでは、347個の例外を明示的に特定している。

ABSTRACT

In 1984, G. Robin proved that the Riemann hypothesis is true if and only if the Robin inequality $σ(n)5040$, where $σ(n)$ is the sum of divisors function, and $γ$ is the Euler-Mascheroni constant. We exhibit a broad class of subsets $\cS$ of the natural numbers such that the Robin inequality holds for all but finitely many $n\in\cS$. As a special case, we determine the finitely many numbers of the form $n=a^2+b^2$ that do not satisfy the Robin inequality. In fact, we prove our assertions with the Nicolas inequality $n/ϕ(n)1$ our results for the Robin inequality follow at once.

研究の動機と目的

• すべての自然数の無限族のうち、ニコラス不等式とルービン不等式が有限個の要素を除きすべての要素で成立するようなものを同定すること。
• 特定の算術的集合内における約数の和関数およびオイラーのトーシェント関数の振る舞いを、リーマン予想と関連付けて分析すること。
• ニコラス不等式を満たさない、$ n = a^2 + b^2 $ の形をした自然数の正確な有限集合を同定すること。
• 特定のケースにおいて、$ n > 5040 $ の制限を外すことで、既知のリーマン予想の基準を拡張すること。

提案手法

• 集合 $ \mathcal{S} = \{ n \in \mathbb{N} \mid \text{if } p \in \mathcal{Q} \text{ and } p \mid n, \text{ then } p^2 \mid n \} $ を定義する。ここで $ \mathcal{Q} $ は、正の下密度および1未満の上密度を持つ集合 $ \mathcal{P} \subset \mathbb{P} $ の補集合である。
• 2つの平方数の和のケースを分析するため、4を法とする算術的進歩における素数の有効な境界を用いる。
• 不等式 $ \sigma(n)/n < n/\varphi(n) $ を $ n > 1 $ に対して用い、ニコラス不等式の結果がルービン不等式の結果を含むことを活用する。
• メルテンスの定理および素数定理を用いて、$ \sigma(n)/(n \log \log n) $ および $ n/(\varphi(n) \log \log n) $ の漸近的挙動を分析する。
• 各素数 $ p $ に対して $ v(p,n) \to \infty $ となるような、$ \mathcal{S} $ に含まれる数列 $ \{a_n\} \subset \mathcal{S} $ を構成し、比の上極限が $ e^\gamma $ に近づくことを証明する。
• 文献[6]の有効な境界を用いて、正確な有限集合 $ \mathcal{S} \setminus \mathcal{N} $ を計算し、ニコラス不等式を満たさない347個の数を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの無限族 $ \mathcal{S} \subset \mathbb{N} $ に対して、ニコラス不等式 $ n/\varphi(n) < e^\gamma \log \log n $ が $ \mathcal{S} $ のほとんどすべての $ n \in \mathcal{S} $ で成立するか？
• RQ2 どの程度の数が $ n = a^2 + b^2 $ の形をとり、ニコラス不等式を満たさないか？
• RQ3 特定の算術的集合に対して、$ n > 5040 $ の制限を除いても、リーマン予想がルービン不等式によって特徴付けられるか？
• RQ4 2つの平方数の和の集合上で、$ \sigma(n)/(n \log \log n) $ および $ n/(\varphi(n) \log \log n) $ の漸近的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ5 $ \mathcal{S} $ 上での $ \sigma(n)/(n \log \log n) $ の上極限が $ e^\gamma $ に等しいか、特に2つの平方数の和の集合に対しても同様に成り立つか？

主な発見

• 集合 $ \mathcal{Q} $（正の下密度および1未満の上密度を持つ）に属する素数が平方因子を伴って出現するという条件によって定義される任意の集合 $ \mathcal{S} $ に対して、ニコラス不等式を満たさない数の集合 $ \mathcal{S} \setminus \mathcal{N} $ は有限である。
• 特に $ \mathcal{P} $ が $ 1 \pmod{4} $ に合同な素数および $ \{2\} $ の集合である場合、集合 $ \mathcal{S} $ はすべての2つの平方数の和として表せる自然数を含む。
• 集合 $ \mathcal{S} \setminus \mathcal{N} $ には正確に347個の自然数が含まれており、そのうち246個が2つの平方数の和として表せる。
• 2つの平方数の和の集合上での $ \sigma(n)/(n \log \log n) $ および $ n/(\varphi(n) \log \log n) $ の上極限は、正確に $ e^\gamma $ に等しく、これらの比の漸近的極値性が確認された。
• 結果から、任意のこのような集合 $ \mathcal{S} $ に対して、ルービン不等式は有限個の例外を除きすべての $ n $ で成立することが示され、特に $ n = a^2 + b^2 $ についても同様に成り立つ。
• 本稿は、リーマン予想が、ある素数の5乗で割り切れるすべての $ n $ に対してルービン不等式が成立することと同値であることを確立した。この同値性は $ n > 5040 $ の制限を必要としない。