[論文レビュー] The Nielsen and the Reidemeister numbers of maps on infra-solvmanifolds of type (R)

Alexander Fel’shtyn, Jong Bum Lee|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、タイプ(R)のインフラ・ソルボルマンフォールド上におけるニールセンおよびライデマイスターディータ関数の合理性、関数方程式、および有限収束半径を確立する。有限性条件の下で両関数に対してガウス合同式を証明し、それらを写像トーラスのライデマイスターテンソルと関連付ける。また、非インフラ・ニルマンフォールドのインフラ・ソルボルマンフォールドではライデマイスターディータ関数が定義されないことを示す。主な貢献は、ニルマンフォールドを超えるより広いクラスのソルボルマンフォールドへ、ディータ関数理論および合同式法則を拡張したことである。

ABSTRACT

We prove the rationality, the functional equations and calculate the radii of convergence of the Nielsen and the Reidemeister zeta functions of continuous maps on infra-solvmanifolds of type $\\R$. We find a connection between the Reidemeister and Nielsen zeta functions and the Reidemeister torsions of the corresponding mapping tori. We show that if the Reidemeister zeta function is defined for a homeomorphism on an infra-solvmanifold of type $\\R$, then this manifold is an infra-nilmanifold. We also prove that a map on an infra-solvmanifold of type $\\R$ induced by an affine map minimizes the topological entropy in its homotopy class and it has a rational Artin-Mazur zeta function. Finally we prove the Gauss congruences for the Reidemeister and Nielsen numbers of any map on an infra-solvmanifolds of type $\\R$ whenever all the Reidemeister numbers of iterates of the map are finite. Our main technical tool is the averaging formulas for the Lefschetz, the Nielsen and the Reidemeister numbers on infra-solvmanifolds of type $\\R$.

研究の動機と目的

• ニルマンフォールドからタイプ(R)のインフラ・ソルボルマンフォールドの広いクラスへ、ニールセンおよびライデマイスターディータ関数理論を拡張すること。
• これらの多様体上の写像に対して、ディータ関数の合理性および関数方程式を確立すること。
• ディータ関数と対応する写像トーラスのライデマイスターテンソルを関連付けること。
• 有限性条件の下で、ニールセンおよびライデマイスターディータ関数に対してガウス合同式を証明すること。
• ライデマイスターディータ関数がいつ定義されず、非インフラ・ニルマンフォールドのインフラ・ソルボルマンフォールドではなぜ定義されないかを特定すること。

提案手法

• その基本群の構造を用いて、タイプ(R)のインフラ・ソルボルマンフォールド上でのLefschetz数、ニールセン数、ライデマイスターナンバーの平均化公式を導出する。
• アフィンリフトとホロノミー群の概念を適用して、写像およびその反復写像の力学的性質を分析する。
• ディータ関数の関数方程式および誘導された自己準同型の固有値の性質を用いて、合理性を証明する。
• スペクトル解析を用いて、ライデマイスターディータ関数と写像トーラスのライデマイスターテンソルとの間の関係を確立する。
• モービウスの反転公式および軌道数え上げの議論を用いて、周期点に対してガウス合同式を証明する。
• バニシング的単位的および双曲的自己準同型に関する結果を応用して、ライデマイスターナンバーの有限性を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプ(R)のインフラ・ソルボルマンフォールド上の写像に対して、ライデマイスターディータ関数が合理性を持ち、適切に定義される条件は何か？
• RQ2 ニールセンおよびライデマイスターディータ関数は、写像トーラスのライデマイスターテンソルとどのように関連しているか？
• RQ3 ライデマイスターナンバーの反復写像の有限性とガウス合同式の有効性との関係は何か？
• RQ4 ディータ関数はニルマンフォールドを超えてタイプ(R)のインフラ・ソルボルマンフォールドへ拡張可能か？その解析的性質は何か？
• RQ5 ライデマイスターディータ関数がいつ定義されず、その原因となる多様体の位相的性質は何か？

主な発見

• タイプ(R)のインフラ・ソルボルマンフォールド上での写像に対するニールセンおよびライデマイスターディータ関数は、有理関数であり、関数方程式を満たす。
• 両ディータ関数の収束半径は有限であり、写像の位相的エントロピーと関連している。
• ライデマイスターディータ関数は、インフラ・ソルボルマンフォールドがインフラ・ニルマンフォールドでない限り、ホメオモーフィズムに対しては常に定義されない。
• ディータ関数は、誘導された自己準同型のスペクトル不変量を通じて、写像トーラスのライデマイスターテンソルと関連している。
• すべての反復ライデマイスターナンバーが有限である限り、任意のタイプ(R)のインフラ・ソルボルマンフォールド上での写像に対して、ニールセンおよびライデマイスターナンバーの両方に対してガウス合同式が成り立つ。
• アーティン＝マザーのディータ関数は、タイプ(R)のインフラ・ソルボルマンフォールド上でのアフィン写像によって誘導される写像に対して有理関数であり、そのホモトピー類の中で位相的エントロピーを最小化する。