[論文レビュー] The Non-commutative Topological Vertex and Wall Crossing Phenomena

Kentaro Nagao, Masahito Yamazaki|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、コンpact 4-サイクルを含まないトーリック Calabi-Yau 3-fold における D-brane がホロモルフィックおよびラグランジュアンサイクルを包む状況下で、開 BPS 不変量を計算する非可換トポロジカルバーテックスを、トポロジカルバーテックスの組合せ的一般化として導入する。このバーテックスは、壁越えと Weyl 群の対称性を用いて、チャネル間で一貫性を保つ閉形式の式を確立する。

ABSTRACT

We propose a generalization of the topological vertex, which we call the "non-commutative topological vertex". This gives open BPS invariants for a toric Calabi-Yau manifold without compact 4-cycles, where we have D0/D2/D6-branes wrapping holomorphic 0/2/6-cycles, as well as D2-branes wrapping disks whose boundaries are on D4-branes wrapping non-compact Lagrangian 3-cycles. The vertex is defined combinatorially using the crystal melting model proposed recently, and depends on the value of closed string moduli at infinity. The vertex in one special chamber gives the same answer as that computed by the ordinary topological vertex. We prove an identify expressing the non-commutative topological vertex of a toric Calabi-Yau manifold X as a specialization of the closed BPS partition function of an orbifold of X, thus giving a closed expression for our vertex. We also clarify the action of the Weyl group of an affine A_L Lie algebra on chambers, and comment on the generalization of our results to the case of refined BPS invariants.

研究の動機と目的

• 壁越え現象が存在する状況下で、トポロジカルバーテックスの一般化を定義し、開 BPS 不変量を計算すること。
• 非コンパクトなラグランジュアン 3-サイクル上に配置された D4-brane に終わるディスクを包む D0/D2/D6-brane および D2-brane を組み込むこと。
• クリスタル融解モデルを用いて、組合せ的かつチャネル依存的な方法で開 BPS 不変量を定義すること。
• オルビフォールド化されたコンパクト化を用いて、非可換トポロジカルバーテックスの閉形式の式を確立すること。
• アフィン $A_L$ リー代数のワイル群が、チャネル構造を整理する役割を果たすことの解明。

提案手法

• コンパクトな 4-サイクルを含まないトーリック Calabi-Yau 多様体に対して、クリスタル融解モデルを用いた組合せ的定義により、非可換トポロジカルバーテックスを定義する。
• クリスタルモデルにおける境界条件は、トーリック図の外部の脚に割り当てられた表現 $\lambda$ によって符号化され、ラグランジュアン 3-サイクル上の D4-brane に対応する。
• バーテックスは、無限遠における閉弦のモジュライ、Kähler モジュライ空間内のチャネル写像 $\sigma, \theta$ によってパrameter化される。
• 重要な恒等式が証明され、非可換バーテックスがオルビフォールド $X/\mathbb{Z}_M$ の閉 BPS 分配関数の特殊化に等しいことが示される。
• 表現の $M$-商を用いることで、元の Calabi-Yau とオルビフォールド化された Calabi-Yau 間のチャネル構造を関連付ける。
• この手法は、精錬された BPS 不変量へと一般化可能であり、オルビフォールド化された設定における変数の特殊化のもとで等価性が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 壁越え現象が存在する状況下で、トポロジカルバーテックスをどのように一般化して、開 BPS 不変量を計算できるか。
• RQ2 クリスタル融解モデルにおけるどの組合せ的構造が、非コンパクトなラグランジュアン 3-サイクル上に配置された D4-brane の境界条件を符号化するか。
• RQ3 非可換トポロジカルバーテックスは、オルビフォールド化された Calabi-Yau 多様体の BPS 分配関数とどのように関係するか。
• RQ4 アフィン $A_L$ リー代数のワイル群は、Kähler モジュライ空間のチャネル構造を整理する上で果たす役割は何か。
• RQ5 この枠組みは、精錬された BPS 不変量へと拡張可能か。また、この場合、オルビフォールド関係はどのように保たれるか。

主な発見

• 非可換トポロジカルバーテックスは、クリスタル融解モデルを用いた組合せ的定義により、$\sigma, \theta$ によって符号化されたチャネル構造に依存する。
• 特別なチャネル $\tilde{C}_{\rm top}$ において、バーテックスは通常のトポロジカルバーテックスに還元され、開トポロジカル弦分配関数が回復される。
• バーテックスがオルビフォールド $X/\mathbb{Z}_M$ の閉 BPS 分配関数の特殊化に等しいことが示され、閉形式の式が得られる。
• ワイル群によるチャネルへの作用は、Kähler モジュライ空間のチャネル構造を置き換える対称性として明確にされる。
• この構成は、精錬された BPS 不変量へと一般化可能であり、同じオルビフォールド恒等式が変数の特殊化のもとで成立する。
• $M$-商が表現に対して自明になる限り、$M$ の選択に依存しない。