[論文レビュー] Wall crossing in local Calabi Yau manifolds

Daniel L. Jafferis, Gregory W. Moore|ArXiv.org|Oct 27, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 36被引用数 70

ひとこと要約

本稿は、局所的カルラヤーマニフォールド、特に解消されたコンパクト化されたコンパクト化（resolved conifold）におけるBPS状態の数え上げを、超重力理論的手法を用いて検討し、壁を越える現象を分析する。壁を越える現象を記述するため、複素化されたカーラヤーmoduliに加えて、追加の実数パラメータ$φ$を導入し、臨界安定性壁を記述する。D6/D2/D0の分配関数を導出し、超重力的手法がカーラヤーmoduliがカーラヤー錐から外れることに起因する、臨界壁付近で破綻することを示している。その結果、このような壁を越えてBPSインデックスを一意に決定することが不可能になる。

ABSTRACT

We study the BPS states of a D6-brane wrapping the conifold and bound to collections of D2 and D0 branes. We find that in addition to the complexified Kahler parameter of the rigid sphere it is necessary to introduce an extra real parameter to describe BPS partition functions and marginal stability walls. The supergravity approach to BPS state-counting gives a simple derivation of results of Szendroi concerning Donaldson-Thomas theory on the noncommutative conifold. This example also illustrates some interesting limitations on the supergravity approach to BPS state-counting and wall-crossing.

研究の動機と目的

• 局所的カルラヤーマニフォールドにおけるBPS状態の数え上げを、超重力理論的手法を用いて理解すること。
• 解消されたコンパクト化されたコンパクト化におけるD6/D2/D0束縛状態の壁を越える挙動を分析すること。
• 超重力的手法が臨界安定性壁付近のBPS状態を記述する際の限界を特定すること。
• 非可換コンパクト化におけるドナルドソン＝トーマス理論の結果と超重力の予測を調和させること。
• カーラヤーmoduliがカーラヤー錐から外れることに起因する、超重力近似の破綻を調査すること。

提案手法

• N=2超重力理論における多中心BPSブラックホール解を用いて、D6/D2/D0束縛状態をモデル化する。
• 複素化されたカーラヤーmoduliに加えて、追加の実数パラメータ$φ$を導入し、複素化されたカーラヤーmoduliを超えた臨界安定性壁を記述する拡張されたmoduli空間を構築する。
• 吸引子機構と調和関数形式を用いて、歪み係数と空間的に変化するmoduliを計算する。
• 壁を越える公式を用いて、moduli空間の異なるチャネルでD6/D2/D0の分配関数を計算する。
• 半原始的壁を越える公式を用いて、特にZsendrői領域とチャネル$R$との間でBPSインデックスを関連付ける。
• 臨界壁付近における超重力の破綻を分析し、$ａ(t^1)$が消え、カーラヤー錐から外れる状況を検討する。これは、フロッピッドコンパクト化への段階的転移を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 追加の実数パラメータ$φ$の導入が、超重力に基づくBPS状態の数え上げにおける臨界安定性壁の記述をどのように拡張するか？
• RQ2 超重力近似が破綻する領域におけるD6/D2/D0分配関数の挙動はいかなるものか？
• RQ3 Szendrői領域のインデックスが既知であるにもかかわらず、チャネル$R$において壁を越える公式がBPSインデックスを一意に決定できないのはなぜか？
• RQ4 臨界壁付近におけるカーラヤーmoduliはどのように振る舞い、超重力手法の有効性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 カルラヤー幾何学がフロッピッドコンパクト化の段階に移行した場合、超重力フレームワークは依然としてBPS状態を記述できるか？

主な発見

• 超重力的手法によるBPS状態の数え上げは、局所的カルラヤーマニフォールドにおける臨界安定性壁を正しく記述するため、複素化されたカーラヤーmoduli空間に追加の実数パラメータ$φ$を導入する必要がある。
• 臨界壁付近では、大半の球面上でカーラヤーmoduli$ａ(t^1)$が消えるため、moduliがカーラヤー錐から外れることに起因し、超重力近似が破綻することが示された。
• チャネル$R$におけるD6/D2/D0分配関数は、壁を越える公式だけでは一意に決定できない。これは、Szendrői領域のインデックスが既知であっても同様である。
• 壁を越える公式の形式的解は、$n \geq 0$に対して非自明なBPS縮重$\Omega(1+n\beta -ndV;R) = (-1)^n$を導き、反対の断片的電荷を持つ束縛状態を示唆するが、これは超重力領域において物理的に疑わしい。
• 解の非一意性は、チャネル$R$におけるBPS状態のスペクトルが、超重力フレームワークによって完全に決定されていないことを示しており、臨界壁付近におけるその限界を強調している。
• 結果から、量子補正された周期が解の内部でフロッピッドコンパクト化への段階的転移を示唆するが、その領域は古典的超重力の範囲外にある。