[論文レビュー] The nonholonomic Riemann and Weyl tensors for flag manifolds

Pavel Grozman, Dimitry Leites|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単純リー代数に付随するフラッグ多様体に対して、リー代数コhomologyおよびPremetの定理を用いて、リーマンおよびウェイリィ曲率テンソルの非ホロノミックな一般化の定義を提示する。SuperLieパッケージを用いて最大パラボリック部分代数に関してこれらのテンソルを計算し、$G_2$-構造およびそのスーパーカウンターパートを含め、この文脈における非ホロノミック曲率障害の体系的計算を初めて実現する。

ABSTRACT

On any manifold, any non-degenerate symmetric 2-form (metric) and any skew-symmetric (differential) form W can be reduced to a canonical form at any point, but not in any neighborhood: the respective obstructions being the Riemannian tensor and dW. The obstructions to flatness (to reducibility to a canonical form) are well-known for any G-structure, not only for Riemannian or symplectic structures. For the manifold with a nonholonomic structure (nonintegrable distribution), the general notions of flatness and obstructions to it, though of huge interest (e.g., in supergravity) were not known until recently, though particular cases were known for more than a century (e.g., any contact structure is ``flat'': it can always be reduced, locally, to a canonical form). We give a general definition of the NONHOLONOMIC analogs of the Riemann and Weyl tensors. With the help of Premet's theorems and a package SuperLie we calculate these tensors for the particular case of flag varieties associated with each maximal (and several other) parabolic subalgebra of each simple Lie algebra. We also compute obstructions to flatness of the G(2)-structure and its nonholonomic super counterpart.

研究の動機と目的

• 非可積分的分布を有する多様体に対する一般非ホロノミックリーマン曲率テンソルの定義を、古典的微分幾何学を非ホロノミック設定に拡張する。
• 非ホロノミックな共形変換の下で不変な曲率不変量である、非ホロノミックウェイリィテンソル（共形アナログ）を導入する。
• 代数的ツールを用いて、$G$ を単純リー群、$P$ をパラボリック部分群とするフラッグ多様体 $G/P$ に対して、これらの曲率テンソルを明示的に計算する。
• 一部の研究者により実行不可能とされていた、非ホロノミック構造の曲率障害を定義する長年の未解決問題に取り組む。
• 超多様体への拡張を図り、非ホロノミックスーパーゲーム$2$-構造の障害を計算し、超重力理論に関連するものとする。

提案手法

• カルタンの構造方程式およびリー代数コhomologyに基づく、座標に依存しないテンソル計算を避ける一般定義を採用する。
• パラボリック部分代数のコホモロジーに関するPremetの定理を活用し、フラッグ多様体上の$G$-構造の構造関数（平坦性の障害）を体系的に計算する。
• MathematicaベースのSuperLieパッケージを用いて、さまざまなリー代数について曲率テンソルおよびコホモロジー群 $H^1$ の明示的計算を行う。
• 非ホロノミック曲率問題を、リー代数コホモロジー $H^1(\text{パラボリック}, \text{随伴表現})$ の計算に還元する。これにより障害が符号化される。
• 非ホロノミック分布上の計量および非退化的2形式の標準形を構成し、障害は非ホロノミックリーマンテンソルによって与えられる。
• 提案された非ホロノミックリーマンテンソルがTanakaの定義と一致することを示し、一貫性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の非可積分的分布を有する多様体に対して、一般的かつ不変的な非ホロノミックリーマンテンソルの定義を構築することは可能か？
• RQ2 非ホロノミックリーマンテンソルの共形アナログとは何か？また、ホロノミックな場合のウェイリィテンソルとどのように関係するか？
• RQ3 単純リー代数の最大パラボリック部分代数に関連するフラッグ多様体 $G/P$ に対して、明示的な曲率障害（構造関数）は何か？
• RQ4 非ホロノミックゲーム$2$-構造およびそのスーパーカウンターパートは、明示的な曲率障害によって特徴付けられるか？
• RQ5 Premetの定理およびSuperLieパッケージは、孤立した例を超えて、非ホロノミック曲率テンソルの計算をどの程度可能にするか？

主な発見

• 非ホロノミックリーマンテンソルはリー代数コホモロジー $H^1(\text{パラボリック}, \text{随伴})$ を通じて定義され、非ホロノミック構造の局所平坦性の障害として、自然かつ不変なものとなる。
• 古典的領域 $S=O(n+2)$ に対して、非ホロノミックウェイリィテンソルはリーマンテンソルの共形不変部品と一致し、古典的幾何学と整合していることを確認する。
• $\frak{o}(2n)$, $\frak{o}(2n+1)$, および $\frak{sp}(2n)$ について、重みおよび $H^1$ コホモロジー群の明示的表が計算され、曲率障害の構造が明らかになる。
• 非ホロノミックゲーム$2$-構造の障害が計算され、非自明であることが示され、非ホロノミック設定下でのゲーム$2$-構造の非平坦性が裏付けられる。
• 同一の枠組みを用いて非ホロノミックスーパーゲーム$2$-構造の障害が計算され、この方法が超多様体への適用可能性が示される。
• 結果として、提案された非ホロノミックリーマンテンソルがTanakaの定義と一致することが確認され、分野における長年の曖昧さが解消された。