[論文レビュー] The number of distinct and repeated squares and cubes in the Fibonacci sequence

Yuke Huang, Zhi‐Ying Wen|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

semigroups and automata theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、戻り語と特異語の再帰的構造を活用して、長さ $ n $ のフィボナッチ語の接頭辞における異なる平方数および重複する平方数、立方数の個数を明示的な公式で与える。$ A(n) $, $ B(f_m) $, $ C(n) $, $ D(f_m) $ の閉形式表現を導出し、任意の $ n $ に対して $ B(n) $ および $ D(n) $ を効率的に計算するためのアルゴリズムを提示した。これは、フィボナッチ語の組合せ論に関する先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

The Fibonacci sequence $\mathbb{F}$ is the fixed point beginning with $a$ of morphism $σ(a,b)=(ab,a)$. In this paper, we get the explicit expressions of all squares and cubes, then we determine the number of distinct squares and cubes in $\mathbb{F}[1,n]$ for all $n$, where $\mathbb{F}[1,n]$ is the prefix of $\mathbb{F}$ of length $n$. By establishing and discussing the recursive structure of squares and cubes, we give algorithms for counting the number of repeated squares and cubes in $\mathbb{F}[1,n]$ for all $n$, and get explicit expressions for some special $n$ such as $n=f_m$ (the Fibonacci number) etc., which including some known results such as in A.S.Fraenkel and J.Simpson, J.Shallit et al.

研究の動機と目的

• すべての $ n $ に対して、フィボナッチ語の接頭辞 $ \mathbb{F}[1,n] $ における異なる平方数および重複する平方数、立方数の個数を特定すること。
• フラエンケル、シンプソン、シャルライトらによる先行研究を拡張し、フィボナッチ数列における平方数および立方数の出現に関する既知の結果を拡張すること。
• 閉形式が存在しない場合でも、重複する平方数 $ B(n) $ および重複する立方数 $ D(n) $ を効率的に計算するためのアルゴリズムを開発すること。
• 戻り語と特異語を用いた再帰的枠組みを確立し、フィボナッチ数列における平方数および立方数の分布を分析すること。

提案手法

• フィボナッチ数列における戻り語の構造を用い、任意の因子の戻り語の列は2種類の戻り語記号上でフィボナッチ語を形成することを活用する。
• 性質2.2を適用し、任意の因子の戻り語列が自身フィボナッチ語であることを示し、これにより平方数および立方数の出現を再帰的に分析可能にする。
• 回文的かつ出現において最大である特異語 $ K_m $ を用い、任意の因子のカーネルおよびその戻り構造を特徴付ける。
• 戻り語の構造を用いて平方数および立方数の位置に関する再帰的関係を導出し、動的分解を用いた効率的なカウント計算を可能にする。
• 恒等式 $ f_m = |F_m| $（フィボナッチ数）を用い、$ D(n) $ および $ B(n) $ の再帰的還元に用いる重要な区間を定義する。
• 補題10.6を適用し、フィボナッチ数の恒等式に基づいて、区間 $ \sum_{i=f_m-1}^n d(i) $ の部分和を効率的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ $ n $ のフィボナッチ語の接頭辞における異なる平方数 $ A(n) $ の正確な個数は何か？ そして、これは閉形式で表現可能か？
• RQ2 閉形式が存在しない場合でも、任意の $ n $ に対して重複する平方数 $ B(n) $ をどのように効率的に計算できるか？
• RQ3 フィボナッチ構造とどのように関係するかを踏まえ、$ \mathbb{F}[1,n] $ における異なる立方数 $ C(n) $ の明示的公式は何か？
• RQ4 フィボナッチ長接頭辞における重複する立方数 $ D(f_m) $ の閉形式表現は何か？ また、先行研究と比較するとどうなるか？
• RQ5 フィボナッチ数の分解に基づく再帰的還元を用いて、任意の $ n $ に対して $ D(n) $ を計算する高速アルゴリズムを構築できるか？

主な発見

• すべての $ n $ に対して、$ \mathbb{F}[1,n] $ における異なる平方数 $ A(n) $ の個数が明示的に特定され、平方数出現の完全な特徴付けが得られた。
• 重複する平方数 $ B(f_m) $ の個数は、$ m \geq 6 $ のとき $ \frac{m-11}{5}f_{m-1} + \frac{m+1}{5}f_{m-3} + m + 1 $ で与えられ、フラエンケルおよびシンプソンによる先行研究を拡張する。
• 異なる立方数 $ C(n) $ の個数は再帰的構造を用いて特定され、$ C(n) $ はフィボナッチ数および戻り語の性質を用いて表現可能である。
• 重複する立方数 $ D(f_m) $ の個数は、$ m \geq 6 $ のとき $ \frac{m-11}{5}f_{m-1} + \frac{m+1}{5}f_{m-3} + m + 1 $ で明示的に与えられ、シャルライトらの結果と一致し、代数的恒等式を用いて再表現した。
• 補題10.6を用いた再帰的還元と、フィボナッチ数で定義される区間における部分和計算を組み合わせることで、任意の $ n $ に対して $ D(n) $ を計算する高速アルゴリズムを構築した。
• 本稿の $ D(f_m) $ の表現が、シャルライトらの指数関数的表現と等価であることを確認し、正確な係数比較により、新規の代数的導出の妥当性を検証した。