[論文レビュー] The number of imaginary quadratic fields with a given class number

K. Soundararajan|ArXiv.org|Jul 2, 2007

Advanced Topology and Set Theory参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、与えられた類数 $ h $ をもつ虚二次体の数についての漸近公式を確立し、類数が $ H $ 以下のものに対する和が $ \frac{3\zeta(2)}{\zeta(3)}H^2 + O(H^2(\log H)^{-1/2+\epsilon}) $ のように成長することを示している。さらに、$ \mathcal{F}(h) \ll h^2(\log\log h)^4 / \log h $ という非自明な上界を提示し、$ \mathcal{F}(h) \asymp h / \log h $ を予想し、$ h $ の素因数に依存するバイアスを含む。これらの結果は、類数の奇数部に関する問題を解決し、類数分布の理解を精緻化する。

ABSTRACT

We investigate the number ${\Cal F}(h)$ of imaginary quadratic fields with class number $h$. We establish an asymptotic formula for the average value of ${\Cal F}(h)$. We also establish a modest non-trivial upper bound for ${\Cal F}(h)$ and give an application to a question of Rosen and Silverman on the odd part of the class number. Finally, we speculate on the asymptotic nature of ${\Cal F}(h)$.

研究の動機と目的

• 大きな $ h $ に対して、類数 $ h $ をもつ虚二次体の数 $ \mathcal{F}(h) $ の漸近的挙動を特定すること。
• Landau-Siegel零点問題に依存しない非自明な $ \mathcal{F}(h) $ の上界を提供すること。
• 平均的順序 $ \mathcal{F}(h) $ を調査し、和 $ \sum_{h \leq H} \mathcal{F}(h) $ に対する漸近公式を導出すること。
• Rosen と Silverman が提起した、類数の奇数部が有界な体の数に関する問題に応えること。
• 類数 $ \mathcal{F}(h) $ の大きさと算術的構造、特に小さな素数による割り切れ性に基づくバイアスを含む、予想を提示すること。

提案手法

• 類数公式と $ L(1, \chi_{-d}) $ の値の分布を用いて、$ \sum_{h \leq H} \mathcal{F}(h) $ の漸近公式を導出する。
• $ L(1, \chi_{-d}) $ のランダムモデルを適用し、$ L(1, \mathbb{X}) $ を素数における独立なオイラー因子を持つ確率変数として扱う。
• メリン変換と線積分を用いて、判別式に関する和を $ L(1, \mathbb{X})^{-s} $ に関する期待値と関連付ける。
• Tatuzawa の定理を用いて、和を判別式 $ d \leq H^2 \log\log H $ に制限し、$ L $-値が小さい例外的判別式を制御する。
• 部分和公式と $ L $-値の評価を用いて、誤差項 $ O(H^2(\log H)^{-1/2+\epsilon}) $ を導出する。
• 滑らかにしたペロン型積分と切捨て関数を用いて $ \mathcal{F}(H) $ を分離し、$ L^1 $-型推定を介して上界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 類数 $ h \to \infty $ のとき、虚二次体の数の漸近的成長率は何か？
• RQ2 Landau-Siegel零点問題に依存しない $ \mathcal{F}(h) $ の非自明な上界を確立できるか？
• RQ3 類数 $ \mathcal{F}(h) $ の分布は、特に 2 のべきや小さな奇素数の冪に依存するか？
• RQ4 奇数部分の類数が $ \leq C $ であるような基本的判別式 $ -d \leq X $ の数 $ N(C; X) $ の漸近的挙動は何か？
• RQ5 平均的順序 $ \mathcal{F}(h) $ を用いて $ \mathcal{F}(h) $ の典型的な大きさを予測できるか？ また、その分布に予想されるバイアスは何か？

主な発見

• 和 $ \sum_{h \leq H} \mathcal{F}(h) $ は漸近的に $ \frac{3\zeta(2)}{\zeta(3)}H^2 + O(H^2(\log H)^{-1/2+\epsilon}) $ に等しく、正確な定数を伴う予想通りの二次的成長を確認した。
• 類数 $ H $ をもつ虚二次体の数は $ \mathcal{F}(H) \ll H^2(\log\log H)^4 / \log H $ を満たし、大きな $ H $ に対して非自明な上界を与えた。
• 平均値 $ \mathcal{F}(h) $ は漸近的に $ \frac{3\zeta(2)}{\zeta(3)}H^2 $ であり、$ H=100 $ の主項は約 41,053 であり、Watkins の正確な数 42,272 に近く、一致している。
• 本稿は $ \mathcal{F}(h) \asymp h / \log h $ を予想し、$ h $ が 3 や 5 のような小さな素数で割り切れる場合に乗法的バイアスが生じる可能性があると示唆している。
• 固定された $ C $ に対して、奇数部分の類数が $ \leq C $ である判別式の数 $ N(C; X) $ は $ N(C; X) \ll X(\log\log X)^6 / \log X $ を満たし、$ N(C; X) = o(X) $ を確認した。
• 和 $ \sum_{h \leq H} \mathcal{F}(h) $ の漸近公式における誤差項は、精錬された技術を用いることで $ O(H^2(\log H)^{-1+\epsilon}) $ に改善できるが、現在の手法では上界における $ \log h $ のべきを向上させることはできない。