[論文レビュー] The ordered K_0-group of a graph C*-algebra

Mark Tomforde|ArXiv.org|Apr 8, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、グラフの頂点行列から導かれる行列の余核として、グラフ C*-代数の順序付き K₀群を同定することにより、順序付き K₀群を計算している。正の錐は射影の整数係数非負線形結合に対応することが示され、主な貢献は、順序付き K₀群の完全な特徴付けと、AF代数の分類、K₀上の状態、グラフトレースによるトレース状態への応用である。

ABSTRACT

We calculate the ordered K_0-group of a graph C*-algebra and mention applications of this result to AF-algebras, states on the K_0-group of a graph algebra, and tracial states of graph algebras.

研究の動機と目的

• グラフの構造に基づいて、グラフ C*-代数の順序付き K₀群を計算すること。
• K₀(C*(E)) の正の錐を射影の非負整数係数線形結合を用いて特徴付けること。
• K₀の計算を、順序付き K₀群による AF代数の分類に応用すること。
• K₀(C*(E)) 上の状態と、基礎となるグラフ上のグラフトレースの間の標準的対応を確立すること。
• グラフが条件 (K) を満たす場合、C*(E) 上のトレース状態とグラフトレースを関連づけ、K₀理論による分類を可能にする。

提案手法

• 論文は、行有限グラフ E の頂点行列 A_E を用い、非特異頂点と特異頂点に基づいて行列を分割する B と C を用いて、行列 (B^t - I; C^t) を定義する。
• K₀(C*(E)) を (B^t - I; C^t) の余核と同定し、[p_v]_0 を余核内の δ_v に写像する同型を用いる。
• 正の錐 (K₀(C*(E)))⁺ が、余核写像による ℕ^V ⊕ ℕ^W の像に対応することを示す。
• 無限グラフに対して K-理論の連続性を適用し、有限近似 E×₁[−∞,n] の極限を取ることで、ℤ^V ⊕ ℤ^W ⊕ ⋯ の直和を得る。
• 状態空間 S(K₀(C*(E))) と、正規化されたグラフトレースの空間 T(E) の間のホメオモルフィズムを、f ↦ (v ↦ f([p_v]_0)) で与える。
• グラフが条件 (K) を満たす場合、写像 r_{C*(E)}: T(C*(E)) → S(K₀(C*(E))) がホメオモルフィズムであることが示され、トレース状態とグラフトレースが一対一に対応することがわかる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ C*-代数の順序付き K₀群は、どのようにしてグラフの構造から明示的に計算できるか？
• RQ2 グラフ代数における K₀(C*(E)) の正の錐の正確な記述は何か？
• RQ3 K₀(C*(E)) 上の状態は、基礎となるグラフ E 上のグラフトレースとどのように関係するか？
• RQ4 C*(E) 上のトレース状態から K₀(C*(E)) 上の状態への写像がホメオモルフィズムであるのはどのような条件下か？
• RQ5 ループを含まないグラフから得られる AF代数は、その順序付き K₀群を用いて分類可能か？

主な発見

• グラフ C*-代数 C*(E) の順序付き K₀群は、非特異頂点と特異頂点に基づいて行列を分割する B と C を用いた行列 (B^t - I; C^t) の余核と同型である。
• 正の錐 (K₀(C*(E)))⁺ は、余核内での ℕ^V ⊕ ℕ^W の像に正確に対応し、射影の非負整数係数線形結合として特定される。
• ループを含まないグラフでは、順序付き K₀群が C*-代数の同型型を完全に分類することができ、Elliott の AF代数の分類を一般化する。
• 状態空間 S(K₀(C*(E))) は、E 上の正規化されたグラフトレースの空間 T(E) とアフィン同相ホメオモルフィズムである。そのホメオモルフィズムは f ↦ (v ↦ f([p_v]_0)) で与えられる。
• E が条件 (K) を満たす場合、写像 r_{C*(E)}: T(C*(E)) → S(K₀(C*(E))) はホメオモルフィズムであるため、C*(E) 上のトレース状態と E 上のグラフトレースは標準的一対一対応にある。
• この結果は、非単位元で可算な近似単位を有する射影をもつ非単位 C*-代数へ、Blackadar と Rørdam のリフト結果を拡張し、K₀(C*(E)) 上のすべての状態が準トレースに引き上げられることを保証する。