[論文レビュー] The μ-ordinary locus for Shimura varieties of Hodge type

Daniel Wortmann|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、特異化されたHodge型の志村多様体の特殊ファイバーにおいて、μ-ordinary部分集合が開かつ稠密であることを示す。これは、μ-ordinary部分集合が一般のEkedahl-Oort層と一致することを示すことによって達成される。層の等価性に関する群論的還元を用いて、著者らはPEL型の結果をHodge型設定に一般化し、Dieudonnéモジュールの同型とHodge-Newton分解を用いる。

ABSTRACT

We review the Newton stratification and Ekedahl-Oort stratification on the special fiber of a smooth integral model for a Shimura variety of Hodge type at a prime of good reduction. We show that the μ-ordinary locus coincides with the generic Ekedahl-Oort stratum, and that for any two geometric points in the μ-ordinary locus there is an isomorphism of the attached Dieudonne modules with additional structure. As a consequence, we proof that the μ-ordinary locus is open and dense, thus generalizing the results which were already known in the PEL-case. To prove our results we provide a method which allows to reduce the equality of strata to a group theoretic statement.

研究の動機と目的

• PEL型からHodge型志村多様体へのμ-ordinary部分集合の稠密性を拡張すること。
• Hodge型設定におけるμ-ordinary部分集合と一般のEkedahl-Oort層との明確な関係を確立すること。
• 既知のPEL型におけるμ-ordinary部分集合が開かつ稠密であるという結果を、より広いクラスの志村多様体へ一般化すること。
• モジュライ的解釈が存在しない状況においても、Newton層とEkedahl-Oort層の等価性を群論的基準に還元する方法を開発すること。

提案手法

• 著者らは、整数的モデルの特殊ファイバーにおけるNewton層およびEkedahl-Oort層の定義に、幾何的点におけるDieudonnéモジュール構造を用いる。
• 因子化補題を適用して、群論的条件を通じてNewton層とEkedahl-Oort層の関係を確立する。
• 主な技術的手法として、群とそのレヴィ部分群におけるアフィンデュドネ＝ルスティグ集合の比較を可能にするHodge-Newton分解を用いる。
• 層の等価性を、κ不変量の像とドミナントニュートンベクトルにかかわる基準に還元する。
• 局所環上の再帰的群に対してLangの定理を用いて、群からその最大コンパクト部分群への要素の持ち上げを行う。
• 本手法は、標準モデルの存在およびde Rhamコホモロジー上における関連するp進ホッジ理論的構造に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 良い還元の素数におけるHodge型志村多様体の特殊ファイバーにおいて、μ-ordinary部分集合は依然として開かつ稠密であるか？
• RQ2 Hodge型設定において、μ-ordinary部分集合は一般のEkedahl-Oort層と等しいか？
• RQ3 モジュライ的解釈が存在しない状況で、Newton層とEkedahl-Oort層の等価性は群論的命題に還元可能か？
• RQ4 μ-ordinary層が非空かつHodge型の場合に稠密であるための条件は何か？
• RQ5 μ-ordinary部分集合の点におけるDieudonnéモジュールは、追加構造の観点からどのように関係しているか？

主な発見

• Hodge型志村多様体の整数的モデルの特殊ファイバーにおいて、μ-ordinary部分集合は一般のEkedahl-Oort層と一致する。
• μ-ordinary部分集合に属する任意の2つの幾何的点に対して、関連する追加構造を備えたDieudonnéモジュールは同型である。
• μ-ordinary部分集合は特殊ファイバーにおいて開かつ稠密であり、これはPEL型の場合の結果を一般化する。
• μ-ordinary部分集合と一般のEkedahl-Oort層の等価性は、κ不変量の像とドミナントニュートンベクトルにかかわる群論的基準を用いて確立される。
• Hodge-Newton分解を適用することで、μ-ordinary要素に対するアフィンデュドネ＝ルスティグ集合が、そのレヴィ部分群における対応する集合と同型であることが示される。
• 本手法により、層の等価性の問題がコキャラクタとσ作用に関する条件のチェックに還元され、モジュライ的設定を超えて一般化が可能になる。