[論文レビュー] The parafermion Fock space and explicit so(2n+1) representations

N. I. Stoilova, J. Van der Jeugt|Ghent University Academic Bibliography (Ghent University)|Dec 10, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、最高重量 $(\frac{p}{2},\ldots,\frac{p}{2})$ を持つ $\mathfrak{so}(2n+1)$ の有限次元ユニタリ無限小表現 $W(p)$ に対して、明示的な直交基底を構成し、パラフェルミオン生成子と消滅演算子の行列要素を計算する。$\mathfrak{u}(n)$ の部分代数とゲルファンド＝ツェットリンのパターンを用いて、$\mathfrak{u}(n)$ クレブシュ＝ゴルダン係数と再帰関係を介して、パラフェルミオン生成子の作用の閉形式表現を導出する。これにより、長年のパラフェルミオン Fock 空間理論の問題が解決される。

ABSTRACT

The defining relations (triple relations) of n pairs of parafermion operators f_j^\pm (j=1,...,n) are known to coincide with a set of defining relations for the Lie algebra so(2n+1) in terms of 2n generators. With the common Hermiticity conditions, this means that the ``parafermions of order p'' correspond to a finite-dimensional unitary irreducible representation W(p) of so(2n+1), with highest weight (p/2, p/2,..., p/2). Although the dimension and character of W(p) is known by classical formulas, there is no explicit basis of W(p) available in which the parafermion operators have a natural action. In this paper we construct an orthogonal basis for W(p), and we present the explicit actions of the parafermion generators on these basis vectors. We use group theoretical techniques, in which the u(n) subalgebra of so(2n+1) plays a crucial role: a set of Gelfand-Zetlin patterns of u(n) will be used to label the basis vectors of W(p), and also in the explicit action (matrix elements) certain u(n) Clebsch-Gordan coefficients are essential.

研究の動機と目的

• パラフェルミオン Fock 空間の位数 $p$ に対する明示的正規直交基底を、$\mathfrak{so}(2n+1)$ 表現において構成するという長年の問題を解決すること。
• 生成子 $f_j^\pm$ の明示的行列要素を、その作用が計算的に扱いやすい基底において提供すること。
• 誘導表現とゲルファンド＝ツェットリンのパターンを介して、パラフェルミオン Fock 空間と $\mathfrak{so}(2n+1)$ の $\mathfrak{u}(n)$ 部分代数との関係を確立すること。
• パラボソンのケースに用いられた群論的枠組みを、パラフェルミオンの場合に拡張し、表現 $W(p)$ を完全に記述可能にする。

提案手法

• $\mathfrak{so}(2n+1) \supset \mathfrak{u}(n)$ の分岐を用いて、$W(p)$ の構造を分析し、$\mathfrak{u}(n)$ の既知のゲルファンド＝ツェットリン基底を活用する。
• 最低重量 $(-\frac{p}{2},\ldots,-\frac{p}{2})$ を持つ、$\mathfrak{u}(n)$ を含むパラボリック部分代数 $\mathfrak{p}$ の自明なモジュールから誘導モジュール $\overline{W}(p)$ を構成する。
• パラフェルミオン生成子を、ランク $(1,0,\ldots,0)$ の $\mathfrak{u}(n)$ テンソル演算子として表現し、行列要素を縮約行列要素と $\mathfrak{u}(n)$ クレブシュ＝ゴルダン係数に分解する。
• 縮約行列要素の再帰関係を解き、$f_j^\pm$ の行列要素の明示的閉形式表現を導出する。
• 生成子の作用を分析することで、$\overline{W}(p)$ の最大部分モジュール $M(p)$ を特定し、それによって $W(p)$ を無限小商モジュールとして分離する。
• すべての $\mathfrak{u}(n)$ ゲルファンド＝ツェットリン基底ベクトルの集合（各成分が $p$ 以下）を用いて、$W(p)$ の基底を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最高重量 $(\frac{p}{2},\ldots,\frac{p}{2})$ を持つ $\mathfrak{so}(2n+1)$ 表現におけるパラフェルミオン Fock 空間 $W(p)$ に対して、明示的な正規直交基底をどのように構成できるか？
• RQ2 その作用が計算的に扱いやすい基底において、パラフェルミオン演算子 $f_j^\pm$ の明示的行列要素表現は何か？
• RQ3 パラフェルミオン生成子は $\mathfrak{so}(2n+1)$ の $\mathfrak{u}(n)$ 部分代数とどのように関係しており、その関係をどのように活用してその作用を計算できるか？
• RQ4 誘導モジュール $\overline{W}(p)$ の中で、最大部分モジュール $M(p)$ の構造を特定し、それによって無限小商モジュール $W(p)$ を分離できるか？
• RQ5 $\mathfrak{u}(n)$ クレブシュ＝ゴルダン係数と縮約行列要素は、パラフェルミオン演算子の作用を表現する際に果たす役割は何か？

主な発見

• ゲルファンド＝ツェットリンのパターンを用い、整数成分が $p$ 以下である基底を用いて、$W(p)$ の明示的直交基底が構成され、表現の完全な正規直交基底が得られる。
• パラフェルミオン演算子 $f_j^\pm$ の行列要素は、$\mathfrak{u}(n)$ クレブシュ＝ゴルダン係数と再帰関係を解いて得られた縮約行列要素を用いて、閉形式で導出される。
• $n=2$ の場合、$f_1^+$ および $f_2^+$ の基底ベクトルへの作用は、$\sqrt{(m_{12}-m_{11}+1)(p-m_{12})}$ や $\sqrt{(m_{11}-m_{22})(m_{22}+1)}$ のような項を含む線形結合として明示的に与えられる。
• $f_j^-$ の作用は、$f_j^+$ のエルミート共役によって決定され、パラフェルミオン代数の定義関係と整合的であることが保証される。
• 誘導モジュール $\overline{W}(p)$ は、カウチ＝リトルウッドの恒等式を用いて、無限個の $\mathfrak{u}(n)$ 無限小モジュールの直和に分解され、最大部分モジュール $M(p)$ が特定され、$W(p)$ が商モジュールとして得られる。
• 本研究の結果は、[17] で提示されたパラボソン Fock 空間の構成をパラフェルミオンの場合に一般化し、有限位数のパラフェルミオン系の完全な群論的枠組みを提供する。