[論文レビュー] The Parameterized Complexity of Reasoning Problems Beyond NP

Ronald de Haan, Stefan Szeider|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2013

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 44被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、NPを超える推論問題、特に多項式階層に属する問題を分類するための新しいパラメータ化された複雑性枠組みを導入する。その枠組みは、問題がSATへの固定パラメータ tractable (fpt) 減少を許容するかどうかを評価することに焦点を当てる。主な貢献は、$k$-$*$ および $*$-$k$ といった新しい複雑性クラスの開発と、重み付きQBF充足可能性、交互的チューリング機械、および一階論理のモデルチェックによるその特徴付けであり、答え集合プログラミングおよび組合せ論における問題の完全性結果を含む。

ABSTRACT

Today's propositional satisfiability (SAT) solvers are extremely powerful and can be used as an efficient back-end for solving NP-complete problems. However, many fundamental problems in knowledge representation and reasoning are located at the second level of the Polynomial Hierarchy or even higher, and hence polynomial-time transformations to SAT are not possible, unless the hierarchy collapses. Recent research shows that in certain cases one can break through these complexity barriers by fixed-parameter tractable (fpt) reductions which exploit structural aspects of problem instances in terms of problem parameters. In this paper we develop a general theoretical framework that supports the classification of parameterized problems on whether they admit such an fpt-reduction to SAT or not. This framework is based on several new parameterized complexity classes. As a running example, we use the framework to classify the complexity of the consistency problem for disjunctive answer set programming, with respect to various natural parameters. We underpin the robustness of our theory by providing a characterization of the new complexity classes in terms of weighted QBF satisfiability, alternating Turing machines, and first-order model checking. In addition, we provide a compendium of parameterized problems that are complete for the new complexity classes, including problems related to Knowledge Representation and Reasoning, Logic, and Combinatorics.

研究の動機と目的

• NPを超える推論問題を、それらがSATへの固定パラメータ tractable (fpt) 還元を許容するかどうかの観点から分類する理論的枠組みを構築すること。
• NPを超える問題に対して多項式時間還元をSATに適用する制限を克服し、多項式階層が崩壊するのを防ぐこと。
• fpt還元がSATへ存在するという点で、NP-hardness や W[1]-hardness に類似した硬さ理論を提供すること。
• 重み付きQBF充足可能性、交互的チューリング機械、および一階論理のモデルチェックといった複数の形式的枠組みを用いて、新しい複雑性クラスを特徴付けること。
• 知識表現、論理、組合せ論における問題の完全性結果を通じて、枠組みの強靭さと適用可能性を実証すること。

提案手法

• パラメータ $k$ が存在束縛の数または量化子ブロック内の変数数を制御する、量化子の入れ替えパターンに基づく2つの新しい階層 $k$-$*$ および $*$-$k$ を導入する。
• 多項式階層の高レベルに位置する問題からSATへのfpt還元を定義し、パラメータ $k$ が還元の tractability を制御することを保証する。
• $k$-$*$ クラスの特徴付けを、$k$ 個の存在束縛ブロックを有する重み付き量子化ブール論理式 (QBF) および $k$ 個の存在状態を有する交互的チューリング機械を用いて行う。
• $k$-$*$ クラスの第一階論理のモデルチェックによる特徴付けを提供し、有界な量化子入れ替えの数を有する第一階論理のモデルチェック問題と関連付ける。
• $*$-$k$ 階層内の式を単純化する正規化技術を用いて、クラス間の一貫性ある分類と比較を可能にする。
• fpt還元を用いて、論理的制約充足や論理的答え集合プログラミングといった重要な問題の完全性を、新しい複雑性クラス内に証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 問題がSATへのfpt還元を許容するかどうかに基づいて、NPを超える推論問題を分類できるか。その場合、適切な理論的枠組みは何か？
• RQ2 fpt還元によるSATへの還元が可能な問題の構造的性質は何か。それを複雑性理論的文脈で形式化するにはどうすればよいか？
• RQ3 新しい複雑性クラス $k$-$*$ および $*$-$k$ は、パラメータ化複雑性理論および多項式階層における既存のクラスとどのように関係しているか？
• RQ4 新しい枠組みを用いて、答え集合プログラミング や QBF 充足可能性といった知識表現および論理分野の問題の完全性結果を証明できるか？
• RQ5 QBF や交互的チューリング機械、第一階論理のモデルチェックといった複数の同等の特徴付けが、新しいクラスに存在するか。それらは枠組みの強靭さをどのように支援するか？

主な発見

• 論文は、$k$-$*$ および $*$-$k$ を含む、新しいパラメータ化された複雑性クラスの階層を確立し、それらがSATへのfpt還元による問題の tractability を捉えることを示した。
• 論理的答え集合プログラミングの整合性問題が $k$-$*$ 階層において完全であることを証明し、枠組みの具体的な応用を提供した。
• $k$-$*$ クラスは、$k$ 個の存在束縛を有する重み付きQBF充足可能性、$k$ 個の存在状態を有する交互的チューリング機械、および有界な入れ替え数を有する第一階論理のモデルチェックによって特徴付けられる。
• $*$-$k$ 階層は正規化結果を示し、クラス内での問題の一貫した表現と比較を可能にした。
• NP-hardness に類似した、SATへのfpt還元可能性の硬さ理論を枠組みが提供し、$orall^*orall^k$-WSat(2CNF) が $orall^*orall^k$-完全であることを示した。これは、不計算性の新しい基準を確立した。
• 論理、知識表現、組合せ論分野の問題のコンプリメンタリーな集積を通じて、枠組みの強靭さが実証された。これには、DNF最小化、グラフ彩色拡張、および有界モデルチェックが含まれる。