[論文レビュー] The partial-isometric crossed products by semigroups of endomorphisms are Morita equivalent to crossed products by groups

Saeid Zahmatkesh|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$C^*$-代数 $A$ 上の拡張可能内型写像の半群に関する部分等長的交叉積 $A \times_{\alpha}^{\text{piso}} \Gamma^{+}$ が、$\ell^\infty(\Gamma, A)$ の部分代数 $\mathcal{B}$ とその上のシフト作用 $\beta$ を用いた群交叉積 $\mathcal{B} \times_{\beta} \Gamma$ の全コーナーとモラータ同値であることを確立する。主な貢献は、等長的交叉積の結果を部分等長的設定へ一般化し、任意の全順序アーベル離散群 $\Gamma$ に対して、このような交叉積が群交叉積の全コーナーとして実現されることを示したことである。これにより、群交叉積の豊富な構造的理論を半群交叉積へ移入可能となる。

ABSTRACT

Let $Γ^{+}$ be the positive cone of a totally ordered abelian discrete group $Γ$, and $α$ an action of $Γ^{+}$ by extendible endomorphisms of a $C^*$-algebra $A$. We prove that the partial-isometric crossed product $A imes_α^{ extrm{piso}}Γ^{+}$ is a full corner of a group crossed product $\mathcal{B} imes_βΓ$, where $\mathcal{B}$ is a subalgebra of $\ell^{\infty}(Γ,A)$ generated by a collection of faithful copies of $A$, and the action $β$ on $\mathcal{B}$ is induced by shift on $\ell^{\infty}(Γ,A)$. We then use this realization to show that $A imes_α^{ extrm{piso}}Γ^{+}$ has an essential ideal $J$, which is a full corner in an ideal $\mathcal{I} imes_βΓ$ of $\mathcal{B} imes_βΓ$.

研究の動機と目的

• 部分等長的交叉積 $A \times_{\alpha}^{\text{piso}} \Gamma^{+}$ が、等長的交叉積の既知の結果に類似した形で群交叉積の全コーナーであるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 前人研究の結果を $\Gamma^+ = \mathbb{N}$ の場合に限らない、任意の全順序アーベル離散群へ一般化し、部分等長的交叉積の構造的理解を拡張すること。
• 代数 $A \times_{\alpha}^{\text{piso}} \Gamma^{+}$ と群交叉積の全コーナーとの間のモラータ同値関係を確立することで、群交叉積の整備された理論を半群交叉積の研究に応用すること。
• 射影 $A \times_{\alpha}^{\text{piso}} \Gamma^{+} \to A \times_{\alpha}^{\text{iso}} \Gamma^{+}$ の核 $J$ を、群交叉積のイデアル内の全コーナーとして特定し、$J$ が本質的イデアルであることを示すこと。

提案手法

• 忠実な $A$ のコピーの生成する $\ell^\infty(\Gamma, A)$ の部分代数 $\mathcal{B}$ を構成し、$\Gamma$ のシフト作用 $\beta$ を用いて自己同型として作用させる。
• 群交叉積 $\mathcal{B} \times_{\beta} \Gamma$ を、$\mathcal{B}$ と $\beta$ に関する共変表現の普遍 $C^*$-代数として定義する。
• シフト作用と射影を用いて、$(A, \Gamma^+, \alpha)$ システムの部分等長的共変対 $(\pi_A, W)$ を $\mathcal{B} \times_{\beta} \Gamma$ の乗算代数内に構成する。
• 関連する $*$-準同型 $\pi_A \times W: A \times_{\alpha}^{\text{piso}} \Gamma^{+} \to \mathcal{B} \times_{\beta} \Gamma$ が、$\mathcal{B} \times_{\beta} \Gamma$ の全コーナーへの同型写像であることを示す。
• この実現を用いて、射影 $A \times_{\alpha}^{\text{piso}} \Gamma^{+} \to A \times_{\alpha}^{\text{iso}} \Gamma^{+}$ の核 $J$ が、$\mathcal{B} \times_{\beta} \Gamma$ のイデアル $\mathcal{I} \times_{\beta} \Gamma$ 内の全コーナーとして実現されることを特定する。
• $J$ が $A \times_{\alpha}^{\text{piso}} \Gamma^{+}$ の本質的イデアルであることを証明し、[3] の結果を $\mathbb{R}$ の部分群に限らない任意の全順序アーベル離散群へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の全順序アーベル離散群 $\Gamma$ に対して、部分等長的交叉積 $A \times_{\alpha}^{\text{piso}} \Gamma^{+}$ は群交叉積の全コーナーとモラータ同値であるか？
• RQ2 等長的ケースを拡張して、$A \times_{\alpha}^{\text{piso}} \Gamma^{+}$ の構造が群交叉積への埋め込みによって完全に記述可能か？
• RQ3 射影 $A \times_{\alpha}^{\text{piso}} \Gamma^{+} \to A \times_{\alpha}^{\text{iso}} \Gamma^{+}$ の核 $J$ は本質的イデアルであり、群交叉積内の全コーナーとして実現可能か？
• RQ4 $\mathcal{B} \subset \ell^\infty(\Gamma, A)$ とシフト作用 $\beta$ の構成が、部分等長的交叉積を全コーナーとして実現する普遍的枠組みを提供するか？

主な発見

• 部分等長的交叉積 $A \times_{\alpha}^{\text{piso}} \Gamma^{+}$ は、$\ell^\infty(\Gamma, A)$ の部分代数 $\mathcal{B}$ とその上のシフト作用 $\beta$ を用いた群交叉積 $\mathcal{B} \times_{\beta} \Gamma$ の全コーナーと同型である。
• 射影 $A \times_{\alpha}^{\text{piso}} \Gamma^{+} \to A \times_{\alpha}^{\text{iso}} \Gamma^{+}$ の核 $J$ は、$\mathcal{B} \times_{\beta} \Gamma$ のイデアル $\mathcal{I} \times_{\beta} \Gamma$ 内の全コーナーとして実現される。
• $J$ は $A \times_{\alpha}^{\text{piso}} \Gamma^{+}$ の本質的イデアルであり、[3, 系2.5] の結果を $\mathbb{R}$ の部分群に限らない任意の全順序アーベル離散群へ一般化している。
• $\alpha$ が単射であるとき、$\mathcal{B}$ はシフトに適合する埋め込み $\varphi_n$ を通じた $B_{\mathbb{Z}} \otimes A$ の直和極限としての記述が得られる。
• $\pi_A \times W$ の同型写像により、$A \times_{\alpha}^{\text{piso}} \Gamma^{+}$ は $\mathcal{B} \times_{\beta} \Gamma$ の全コーナーとして実現され、両代数間のモラータ同値関係が確立される。
• この結果は、$\Gamma^+ = \mathbb{N}$ のとき [3, 定理4.1] を特別な場合として回復し、従来の研究と整合性を保っている。