[論文レビュー] The planar Cayley graphs are effectively enumerable

Agelos Georgakopoulos, Matthias Hamann|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

semigroups and automata theory参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、平面に枝が交差せずに実現可能なケイリー群グラフ（平面ケイリー群グラフ）が、平面提示と呼ばれる新しい群提示のクラスを導入することによって、有効に列挙可能であることを確立している。この提示はアルゴリズム的に認識可能であり、すべてのこのようなグラフを体系的かつ計算可能に列挙することを可能にし、平面群の有効な列挙可能性についての未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We show that a group admits a planar, finitely generated Cayley graph if and only if it admits a special kind of group presentation we introduce, called a planar presentation. Planar presentations can be recognised algorithmically. As a consequence, we obtain an effective enumeration of the planar Cayley graphs, yielding in particular an affirmative answer to a question of Droms et al. asking whether the planar groups can be effectively enumerated.

研究の動機と目的

• 平面ケイリー群グラフが有効に列挙可能かどうかを特定すること。Droms らの未解決問題に取り組む。
• 新しいクラスの群提示を通じて、平面的かつ有限生成可能なケイリー群グラフをもつ群を特徴づけること。
• 平面提示の概念を導入し、形式化し、平面ケイリー群グラフのアルゴリズム的認識のための道具として用いること。
• 群提示と平面グラフ実現との間の構成的かつアルゴリズム的な関係を確立すること。

提案手法

• 平面提示（関連するケイリー群グラフが平面的かつ有限生成である特定のタイプの群提示）の概念を導入する。
• 群が平面的かつ有限生成可能なケイリー群グラフをもつための必要十分条件として、平面提示を有することであることを証明する。
• 組合せ論的およびグラフ理論的基準を通じて、平面提示がアルゴリズム的に認識可能であることを示す。
• すべての有効な平面提示を体系的に生成することで、有効な列挙手順を構築する。
• 平面提示のアルゴリズム的認識を活用し、すべての平面ケイリー群グラフの再帰的列挙を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面的かつ有限生成可能なケイリー群グラフをもつ群のクラスは、有効に列挙可能か？
• RQ2 群提示のどのような構造的性質が、関連するケイリー群グラフが平面的であることを保証するか？
• RQ3 平面ケイリー群グラフは、群提示の観点から決定可能に特徴づけられるか？
• RQ4 平面ケイリー群グラフの列挙をアルゴリズム的かつ体系的に行えるか？

主な発見

• 群が平面的かつ有限生成可能なケイリー群グラフをもつための必要十分条件は、その群が平面提示をもつことである。
• 平面提示はアルゴリズム的に認識可能であり、このような群のクラスへの属する判定手順を有効に可能にする。
• すべての平面ケイリー群グラフの集合は有効に列挙可能であり、構成的かつ列挙可能な手順を提供する。
• この結果は、Droms らが提起した、平面群の有効な列挙可能性に関する未解決問題を肯定的に解決する。