[論文レビュー] The Planck length as a duality of the Cosmological Constant: S-dS and S-AdS thermodynamics from a single expression

Ivan Arraut|arXiv (Cornell University)|May 31, 2012

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、プランク長さ（$l_{\text{pl}}$）を紫外（UV）カットオフ、および宇宙定数スケール（$r_\Lambda = 1/\sqrt{\Lambda}$）を赤外（IR）カットオフとして統合する一般化不確定性原理（GUP）を提案し、解析的続行を必要とせずに、シュバルツシルト＝de Sitter（S-dS）およびシュバルツシルト＝反de Sitter（S-AdS）ブラックホールの熱力学を正確に再現することを示している。主な結果は、S-dSブラックホールの温度が、$l_0 = (\frac{3}{2}r_s r_\Lambda^2)^{1/3}$ に位置する「自然な」静止観測者によって測定された場合、同じGUPフレームワーク下でS-AdSの熱力学と一致することである。

ABSTRACT

In this paper we suggest that the Planck length $l_{pl}$ and the Cosmological Constant scale $r_Λ=\frac{1}{\sqrtΛ}$ could in principle be dual each other if we take seriously the so-called q-Bargmann Fock space representation as has been previously suggested by Kempf and others and if additionally we introduce $l_{pl}$ as an ultraviolet cut-off and $r_Λ=\frac{1}{\sqrtΛ}$ as an infrared one. As a consequence, it is possible to demonstrate that a Generalized Uncertainty Principle (GUP) given by $ΔX ΔP\geq \frac{\hbar}{2}+\frac{l_{pl}^2}{2\hbar}(ΔP)^2+\frac{\hbar}{2r_Λ^2}(ΔX)^2$, can reproduce appropriately the thermodynamic behavior for both, the Schwarzschild Anti de-Sitter (S-AdS) and the Schwarzschild de-Sitter (S-dS) space without making any analytic extension for the coefficient (parameter) related to the minimum uncertainty in momentum (already suggested in the literature). This is possible if the Black Hole temperature is described with respect to the "natural" Static Observer for the S-dS case located at a distance $l_0=(3/2r_s r_Λ^2)^{1/3}$.

研究の動機と目的

• S-dSブラックホール熱力学において、IRパラメータの解析的続行を必要とする従来のGUP手法の不整合を解消すること。
• プランク長さと宇宙定数スケールを基本的カットオフとして有する同一のGUP式を用いて、S-dSおよびS-AdSブラックホールの熱的記述を統一すること。
• UVおよびIRカットオフを有するGUPが、便宜的な仮定を用いずに、S-AdSにおける最小温度およびS-dSにおける正しい温度プロファイルを自然に再現できることを示すこと。
• S-dS時空における「自然な」静止観測者の役割を明確にし、表面重力および温度補正に与える影響を解明すること。

提案手法

• プランク長さ（$l_{\text{pl}}$）をUVカットオフ、$r_\Lambda = 1/\sqrt{\Lambda}$ をIRカットオフとして組み込んだ、$\Delta X\Delta P \geq \frac{\hbar}{2} + \frac{l_{\text{pl}}^2}{2\hbar}(\Delta P)^2 + \frac{\hbar}{2r_\Lambda^2}(\Delta X)^2$ の形の一般化不確定性原理（GUP）を導出する。
• GUPをブラックホール熱力学に適用する際、$\Delta X \approx r_+$（イベントホライズン）および $\Delta P \approx \kappa$（表面重力）と特定し、q-Bargmann Fock空間形式を用いてUVおよびIRスケールの双対性を正当化する。
• S-dSブラックホールの温度を、$l_0 = (\frac{3}{2}r_s r_\Lambda^2)^{1/3}$ に位置する「自然な」静止観測者による測定によって再解釈し、キリングベクトルの正規化を変更することで表面重力を補正する。
• S-dSおよびS-AdS両ケースの表面重力式を、それぞれ $M \ll M_{\text{max}}$ および $M \ll M_{\text{crit}}$ の極限で展開し、GUPによる一次補正を比較する。
• 極限状態（$r_{BH} \to r_\Lambda$）におけるS-dS温度を、S-AdS温度と一致させるために、ホライズン半径 $r_+ = C r_\Lambda$ を解き、制約条件 $C = 1 + \frac{2}{3}\epsilon - \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{\epsilon}$ を導出する。$\epsilon \to 0$ の極限で両者が一致することを示す。
• GUP方程式の4つの解を用いて、負の比熱領域と正の比熱領域を区別し、S-dSおよびS-AdS時空における既知の熱力学的挙動と整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プランク長さと宇宙定数スケールをカットオフとして有する同一のGUP式が、IRパラメータの解析的続行を必要とせず、S-dSおよびS-AdSブラックホールの熱力学を再現できるか？
• RQ2 特にS-dS時空における「自然な」静止観測者の選択が、GUPから導かれる表面重力および温度にどのように影響を与えるか？
• RQ3 GUPおよびブラックホール熱力学の文脈において、幾何平均スケール $l_0 = (l_{\text{pl}} r_\Lambda)^{1/2}$ の物理的意味は何か？
• RQ4 なぜS-dSブラックホールとS-AdSブラックホールの温度は、それぞれ $r_{BH} \to r_\Lambda$ および $r_+ \to r_\Lambda$ の近傍で、同じGUPフレームワーク下で区別できなくなるのか？
• RQ5 GUPフレームワークが、追加の仮定を用いずに、S-AdSにおける最小温度およびS-dSにおける非単調な温度挙動を自然にどのように説明できるか？

主な発見

• GUP式 $\Delta X\Delta P \geq \frac{\hbar}{2} + \frac{l_{\text{pl}}^2}{2\hbar}(\Delta P)^2 + \frac{\hbar}{2r_\Lambda^2}(\Delta X)^2$ は、IRパrameterの解析的続行を必要とせず、S-dSおよびS-AdSブラックホールの熱力学を正確に再現した。
• S-dSブラックホールの温度が、$l_0 = (\frac{3}{2}r_s r_\Lambda^2)^{1/3}$ に位置する「自然な」静止観測者によって測定された場合、表面重力 $\kappa_{\text{dS}} \approx \frac{1}{4GM} + \frac{9^{1/3}}{8}(r_{\Lambda}^2 GM)^{-1/3}$ が補正され、キリングベクトルの正規化を反映し、負の比熱が一貫して得られる。
• S-AdSの場合、同一のGUP式により、比熱の符号が変わる臨界質量 $M_{\text{crit}} = \frac{2}{3}\frac{m_{\text{pl}}^2}{m_\Lambda}$ が再現され、$M \ll M_{\text{crit}}$ の領域では温度が $\kappa_{\text{AdS}} \approx \frac{1}{4GM} + \frac{GM}{r_\Lambda^2}$ と与えられる。
• 宇宙ホライズン付近（$r_{BH} \to r_\Lambda$）では、S-dS温度 $\kappa_{\text{dS}} \approx \frac{1}{r_\Lambda}(1 + \frac{2}{3}\epsilon)$ が、$C = 1 + \frac{2}{3}\epsilon - \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{\epsilon}$ のとき、S-AdS温度 $\kappa_{\text{AdS}} \approx \frac{1}{r_\Lambda}(\frac{1}{2C} + \frac{C}{2})$ と一致し、$\epsilon \to 0$ の極限で一致することが示された。
• GUP方程式の4つの解は、S-AdSにおける負の比熱領域（最小・最大温度を含む）および正の比熱領域を正しく記述しており、既知の熱力学的挙動と整合することが確認された。
• 幾何平均スケール $l_0 = (l_{\text{pl}} r_\Lambda)^{1/2}$ は、GUPの極値条件に対応し、不確定性積が最小値に達する点であり、UV-IR双対性の統一的スケールとして機能する。