[論文レビュー] The Poincaré Lemma in Subriemannian Geometry

Philipp Harms|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、水平微分が $ r $ 回連続的に微分可能であるならば、関数自体も $ C^r $ であることを示す、サブリーマン幾何におけるポincareの補題の類似形を確立する。証明は、エンドポイント写像の正則性と無限次元解析における重ね合わせ作用素に依拠し、サブリーマン多様体における到達可能性のチャウの定理に基づく。

ABSTRACT

This work is a short, self-contained introduction to subriemannian geometry with special emphasis on Chow's Theorem. As an application, a regularity result for the Poincaré Lemma is presented. At the beginning, the definitions of a subriemannian geometry, horizontal vector fields and horizontal curves are given. Then the question arises: Can any two points be connected by a horizontal curve? Chow's Theorem gives an affirmative answer for bracket generating distributions. (A distribution is called bracket generating if horizontal vector fields and their iterated Lie brackets span the whole tangent space.) We present three different proofs of Chow's Theorem; each one is interesting in its own. The first proof is based on the theory of Stefan and Sussmann regarding integrability of singular distributions. The second proof is elementary and gives some insight in the shape of subriemannian balls. The third proof is based on infinite dimensional analysis of the endpoint map. Finally, the study of the endpoint map allows us to prove a regularity result for the Poincaré Lemma in a form suited to subriemannian geometry: If for some $r \geq 0$ all horizontal derivatives of a given function $f$ are known to be $r$ times continuously differentiable, then so is $f$. Sections 1 to 3 are the common work of Martin Bauer and Philipp Harms.

研究の動機と目的

• 非可積分な分布のため、標準的な滑らかさの仮定が成り立たないサブリーマン幾何におけるポincareの補題の正則性結果を確立すること。
• 非ユークリッド的でサブリーマン的な設定において、水平微分の正則性と関数全体の正則性の間のギャップを埋めること。
• チャウの定理とエンドポイント写像の幾何的基礎に重点を置いた、サブリーマン幾何の自己完結的入門を提供すること。
• 水平微分の正則性が、水平ベクトル場の反復リーブラケットによって張られる接空間に制限される状況でも、関数自体の正則性を保証することを示すこと。

提案手法

• チャウの定理の3通りの別証明を用いる：特異分布のスターファン＝シュサマン理論に基づくもの、サブリーマン球の素朴な構成、およびエンドポイント写像の無限次元解析に基づくもの。
• エンドポイント写像に定秩定理を適用し、点の近傍で滑らかな局所セクションを構成することで、局所的逆写像と正則性の転送を可能にする。
• 関数空間間の重ね合わせ作用素 $ C([0,1];M) \to C([0,1];\mathbb{R}) $ を用いる。入力関数 $ Xf $ が $ C^r $ であるとき、この作用素も $ C^r $ であることが示される。
• 線形有界汎関数 $ I(u,h) = \int_0^1 \sum u_i(t) h_i(t) dt $ を用いて、関数 $ f $ を曲線に沿ったその水平微分の積分として表現する。
• 制御から曲線への写像 $ \Gamma $ を用いて、恒等式 $ f = f(x_0) + I(u, (Xf) \circ \Gamma \circ u) $ を構築し、関数 $ f $ の正則性を $ Xf $ の正則性に還元する。
• Banach空間における陰関数定理とエンドポイント写像の滑らかさに依拠し、滑らかな局所セクションの存在と制御に関する滑らかな依存性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 水平ベクトル場が接空間全体を張らないサブリーマン多様体において、古典的ポincareの補題を拡張することは可能か？
• RQ2 すべての水平微分が $ C^r $ であるという条件下で、関数自体が $ C^r $ であるとは限らない条件は何か？
• RQ3 サブリーマン幾何におけるエンドポイント写像の構造が、微分から関数への正則性の転送をどのように促進するか？
• RQ4 チャウの定理が分布が括弧生成的であることを保証し、したがって完全な正則性の伝搬を可能にする役割は何か？
• RQ5 エンドポイント写像の無限次元解析を用いて、非可積分な幾何における正則性結果を証明することは可能か？

主な発見

• 関数 $ f $ がすべての水平微分 $ Xf $ を $ C^r $ に持つ限り、分布が可積分でなく、接空間が反復リーブラケットでのみ張られる場合でも、$ f $ は $ C^r $ である。
• 証明は、正規制御におけるエンドポイント写像に定秩定理を適用することで得られる滑らかな局所セクションの存在に依存する。
• 重ね合わせ作用素 $ \gamma \mapsto (Xf) \circ \gamma $ は $ C^r $ であり、曲線との合成が正則性を保つことを保証する。
• 恒等式 $ f = f(x_0) + I(u, (Xf) \circ \Gamma \circ u) $ を用いることで、関数はその水平微分から再構成可能であり、$ I $, $ \Gamma $, および $ Xf $ がすべて $ C^r $ であるため、$ f $ も $ C^r $ である。
• この結果は任意の $ r \geq 0 $ に対して成り立ち、接空間を張るために必要な括弧の数に依存しない正則性転送が可能である。
• 水平 bundle 上の非連続なノルムの例は、計量の滑らかさが部分位相における連続性を意味しないことを示しており、サブリーマン正則性の微妙さを強調している。