[論文レビュー] The Poincaré problem in the dicritical case

Yohann Genzmer, Rogério Mol|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素射影平面における双曲的特異点を持つfoliationに対して、分離子のバランス式を導入することで、Poincaré問題を拡張する。このバランス式を用いて不変代数曲線を特徴づけ、foliationの次数に関してその曲線の次数の上限を確立する。これは、$GSV$-指数の位相的不変性と極座標交差理論を用いて、古典的な境界 $¹\deg(S)\leq\deg(\mathcal{F})+2$ を双曲的の場合に一般化したものである。

ABSTRACT

We develop a study on local polar invariants of planar complex analytic foliations at $(\mathbb{C}^{2},0)$, which leads to the characterization of second type foliations and of generalized curve foliations, as well as a description of the $GSV$-index. We apply it to the Poincaré problem for foliations on the complex projective plane $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$, establishing, in the dicritical case, conditions for the existence of a bound for the degree of an invariant algebraic curve $S$ in terms of the degree of the foliation $\mathcal{F}$. We characterize the existence of a solution for the Poincaré problem in terms of the structure of the set of local separatrices of $\mathcal{F}$ over the curve $S$. Our method, in particular, recovers the known solution for the non-dicritical case, ${ m deg}(S) \leq { m deg}(\mathcal{F}) + 2$.

研究の動機と目的

• 局所的foliation構造に基づいて不変代数曲線を特徴づけることにより、双曲的状況におけるPoincaré問題を解く。
• 無限個の分離子を有するfoliationに対して、古典的な次数境界 $\deg(S)\leq\deg(\mathcal{F})+2$ を一般化する。
• 分離子が収束するfoliationに対して、$GSV$-指数と代数多重度の位相的不変性を確立する。
• 極不変量とバランス式を用いて、双曲的状況における第二種および一般化された曲線foliationを特徴づける。

提案手法

• 各双曲的成分 $D$ に対して、孤立分離子の式と $2-\mathrm{v}(D)$ に関連する分離子の式を組み合わせたバランス式の分離子を導入する。
• 極交差理論を適用し、一般極曲線と分離子との交差数を用いて $GSV$-指数を計算する。
• 位相的同値性を用いてfoliation間で不変量を移動させ、すべての分離子が収束する場合に $\delta_0$ と $\Delta_p$ の指数が保存されることを保証する。
• 等特異化定理を活用し、位相的同値性のもとで代数多重度が位相的不変量であることを示す。
• 定理Bを適用して $GSV$-指数を交差数の差に結びつけ、グローバルな境界を得る。
• 形式的有理型関数に適応した極交差法を再バランス化することで、非双曲的状況からの手法を双曲的状況に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的状況における不変代数曲線のPoincaré問題が、どのような条件下で次数の上限を有するのか。
• RQ2 無限個の分離子が存在する状況において、$GSV$-指数はどのように計算され、特徴づけられるのか。
• RQ3 極不変量とバランス式の分離子は、第二種および一般化された曲線foliationを特徴づける上で果たす役割は何か。
• RQ4 分離子が収束する場合に、$GSV$-指数と代数多重度は位相的同値性のもとで不変なのか。
• RQ5 位相的および極不変量を用いて、古典的な境界 $\deg(S)\leq\deg(\mathcal{F})+2$ を双曲的foliationに拡張できるか。

主な発見

• 本稿は、双曲的状況における不変曲線の次数の上限を確立し、古典的な境界 $\deg(S)\leq\deg(\mathcal{F})+2$ を一般化した。
• すべての分離子が収束する場合に、$GSV$-指数が位相的不変量であることが示された。これは、位相的同値性のもとで $\delta_0$ と $\Delta_p$ が保存されることに起因する。
• 第二種foliationは、任意の分離子に沿って $\Delta_p$-指数が消えることによって特徴づけられ、非双曲的状況への拡張がなされた。
• 分離子がすべて収束するfoliationに対して、代数多重度が位相的不変量であることが示され、Camacho や Lins Neto、Mattei-Salem の結果が一般化された。
• バランス式の分離子により、双曲的状況においても $GSV$-指数を計算するための基準foliationの構成が可能になった。
• この手法により、既知の非双曲的解が回復され、極交差法の適応を再バランス化することで、双曲的状況への拡張が達成された。