[論文レビュー] The primitivity index function for a free group, and untangling closed curves on hyperbolic surfaces. With an appendix by Khalid Bou-Rabee

Neha Gupta, Ilya Kapovich|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 43被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、自由群における原始的指数関数の定義と分析を行い、残余有限性および双曲的曲面の位相との関連を確立する。原始的指数が、残余有限性成長関数に関連する関数よりも速やかに増加することを証明し、双曲的曲面の有限被覆における閉じた測地線をほどくための、初めての非自明な下界を導出する。

ABSTRACT

Motivated by the results of Scott and Patel about "untangling" closed geodesics in finite covers of hyperbolic surfaces, we introduce and study primitivity, simplicity and non-filling index functions for finitely generated free groups. We obtain lower bounds for these functions and relate these free group results back to the setting of hyperbolic surfaces. An appendix by Khalid Bou-Rabee connects the primitivity index function to the residual finiteness growth function for $F_N$.

研究の動機と目的

• 有限生成自由群における原始的指数関数を定義・分析し、部分群分離性および原始的元との関連を特に検討すること。
• 原始的指数関数の下界を確立し、これにより双曲的曲面上の閉じた測地線を単純曲線または非満たす曲線に引き上げるために必要な有限被覆の最小次数の下界が得られることを示すこと。
• 自由群における原始的指数関数と残余有限性成長関数との関連を確立し、幾何的群論の結果を活用すること。
• 有限被覆における閉じた測地線のほどきの定量的挙動を扱い、スコットとパテルの部分群分離性および曲線の引き上げに関する結果に由来する問題に焦点を当てる。
• 群元を有限指数部分群内で原始的元として実現するために必要な被覆の最小次数を制御する関数 $ f_{\text{prim}}(n; F_N) $ に対する、初めて知られる下界を提供すること。

提案手法

• 原始的指数 $ d_{\text{prim}}(g; F_N) $ を、$ g $ が原始的元であるような有限指数部分群 $ H \trianglelefteq F_N $ の最小指数として定義する。
• 非自明かつ真の冪でない元 $ g \in F_N $ で、語長が $ \leq n $ であるものの $ d_{\text{prim}}(g) $ の最大値として、原始的指数関数 $ f_{\text{prim}}(n; F_N) $ を定義する。
• 重要な不等式 $ \operatorname{RF}_G(n) \leq f_{\text{prim}}(4n+4) $ を確立し、原始的指数関数と残余有限性成長関数 $ \operatorname{RF}_G(n) $ の関連を示す。
• コズマとトムの残余有限性成長に関する深い結果を応用し、下界 $ f_{\text{prim}}(4n+4) \geq \exp\left(\left(\frac{\log n}{C\log\log n}\right)^{1/4}\right) $ を導出する。
• 非可換な元 $ w_n, a \in F_N $ を用いた交換子構成 $ \gamma_n = [w_n, w_n^a] $ を用い、$ \gamma_n $ が真の冪でないことを保証し、原始的性の議論を可能にする。
• もし $ \gamma_n $ が $ H $ で原始的であるならば、$ w_n $ も $ w_n^a $ も $ H $ には属しないので、$ [F_N : H] \geq \operatorname{D}(w_n) = \operatorname{RF}_G(n) $ が成り立ち、これが主要な不等式に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由群 $ F_N $（$ N \geq 2 $）に対して、原始的指数関数 $ f_{\text{prim}}(n; F_N) $ の漸近的成長率はいかほどか？
• RQ2 自由群における原始的指数関数は、残余有限性成長関数 $ \operatorname{RF}_G(n) $ とどのように関連しているか？
• RQ3 双曲的曲面の有限被覆において、閉じた測地線を単純曲線または非満たす曲線に引き上げるために必要な最小被覆次数に、どのような下界を設定できるか？
• RQ4 原始的指数関数は、双曲的曲面の有限被覆における閉じた測地線のほどきの複雑さを定量化するために利用可能か？
• RQ5 自由群における原始的指数関数と残余有限性成長関数は、同じ漸近的挙動を示すか？

主な発見

• 本稿は、原始的指数関数に対する初めての非自明な下界を確立した：ある定数 $ C > 0 $ と十分大きな $ n $ に対して、$ f_{\text{prim}}(4n+4) \geq \exp\left(\left(\frac{\log n}{C\log\log n}\right)^{1/4}\right) $ が成り立つ。
• また、$ \operatorname{RF}_G(n) \leq f_{\text{prim}}(4n+4) $ を証明し、原始的指数関数が引数に線形シフトを加えた場合に、残余有限性成長関数を支配することを示した。
• ババイのケイリーグラフ直径に関する予想が成り立つと仮定すれば、下界は $ f_{\text{prim}}(4n+4) \geq n^{1/(C\log\log n)} $ に改善される（$ n $ が十分大きい場合）。
• 結果として、長さ $ L $ の閉じた測地線を双曲的曲面上の単純曲線または非満たす曲線に引き上げるために必要な最小被覆次数は、少なくとも $ \exp\left(\left(\frac{\log L}{C\log\log L}\right)^{1/4}\right) $ のオーダーで増加することが示された。
• 本稿は、長さ $ \leq L $ の閉じた測地線を引き上げるために必要な最大の最小被覆次数を測る関数 $ f_{\Sigma}(L) $ に対する、初めての既知の下界を解決した。
• 原始的性と残余有限性の関連は、原始的指数関数が、従来の理解をはるかに超える自由群内の構造的複雑性を捉えていることを明らかにした。