[論文レビュー] The probability density function for the Havriliak-Negami relaxation

K. Górska, A. Horzela+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2016

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、積分変換を用いて、Havriliak-Negami緩和モデルに関連する時間領域応答関数 $ f_{\alpha, \beta}(t/\tau_0) $ および空間領域確率密度 $ g_{\alpha, \beta}(u) $ の正確で明示的な表現を導出する。主な貢献は、$ \beta = (2-q)/(q-1) $ および $ \tau_0 = (q-1)^{1/\alpha} $ のとき、$ q \to 1^+ $ において応答関数が一様Lévy安定分布に収束することを示し、自己相似性を介して積分型の進化方程式を満たす二変数密度を導入することにある。

ABSTRACT

We study the functions related to the Havriliak-Negami frequency relaxation $\sim [1+(i\omega au_{0})^{\alpha}]^{-\beta}$ with $ au_{0}$ characteristic time, measured in many experiments. We furnish exact and explicit expression for the response function $f_{\alpha, \beta}(t/ au_{0})$ in time domain and a probability density $g_{\alpha, \beta}(u)$ in space domain for $\alpha = l/k < 1$ and $\beta < k/l$, with $k$ and $l$ positive integers. For $0 < \alpha < 1$ and $\beta=1$ we reproduce the functions related to the Cole-Cole relaxation. We use the method of integral transforms. We show that $f_{\alpha, \beta}(t/ au_{0})$ with $\beta = (2-q)/(q-1)$ and $ au_{0} = (q-1)^{1/\alpha}$, $1 < q < 2$, goes over to the one-sided Levy stable distribution when $q$ tends to one. Moreover, applying the self-similar property of $g_{\alpha, \beta}(u)$ we introduce two-variable density which satisfies the integral form of evolution equation.

研究の動機と目的

• Havriliak-Negami緩和モデルに関連する時間領域応答関数および空間領域確率密度の正確で明示的な表現を導出すること。
• 既知のCole-Coleモデル（$ \alpha < 1, \beta = 1 $）の結果を、$ \alpha = l/k < 1 $、$ \beta < k/l $ であるより一般的な場合に拡張すること。ここで $ k,l $ は正の整数である。
• パrameter $ q \to 1^+ $ における応答関数の極限的挙動を調査し、特にそれが一様Lévy安定分布に収束することを明らかにすること。
• 確率密度 $ g_{\alpha, \beta}(u) $ が示す自己相似性を活用し、積分形式の進化方程式を満たす二変数密度を構築すること。

提案手法

• 時間領域応答関数 $ f_{\alpha, \beta}(t/\tau_0) $ および空間領域確率密度 $ g_{\alpha, \beta}(u) $ の正確な表現を導出するために、特にメリン変換を用いる積分変換を用いる。
• 導出された関数の収束性および正則性を保証するため、$ \alpha = l/k < 1 $ および $ \beta < k/l $ という条件を適用し、$ k,l \in \mathbb{Z}^+ $ とする。
• 応答関数 $ f_{\alpha, \beta}(t/\tau_0) $ の極限的挙動を、$ \beta = (2-q)/(q-1) $ および $ \tau_0 = (q-1)^{1/\alpha} $ と設定し、$ q \to 1^+ $ における極限を分析する。
• 確率密度 $ g_{\alpha, \beta}(u) $ に見られる自己相似性を同定し、これにより積分形式の進化方程式を満たす二変数確率密度関数を構築できる。
• 自己相似構造を用いて、時間変数と空間変数をスケーリング対称性で結ぶ積分形式の進化方程式を導出する。
• 特別な場合として $ \beta = 1 $ かつ $ 0 < \alpha < 1 $ のとき、Cole-Coleモデルが回復されることを確認することで、一般枠組みの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約条件 $ \alpha = l/k < 1 $、$ \beta < k/l $ のもとで、Havriliak-Negami緩和モデルの時間領域応答関数および空間領域確率密度の正確で明示的な表現をどのように導出できるか。
• RQ2 パrameter $ \beta = (2-q)/(q-1) $ および $ \tau_0 = (q-1)^{1/\alpha} $ のもとで、$ q \to 1^+ $ における応答関数の挙動はいかなるものか。
• RQ3 確率密度 $ g_{\alpha, \beta}(u) $ が示す自己相似性を用いて、積分形式の進化方程式を満たす二変数密度を構築できるか。
• RQ4 導出された応答関数が、$ \beta = 1 $ のとき既知のCole-Cole緩和関数に還元されるか。
• RQ5 $ q \to 1^+ $ における応答関数の極限形が、一様Lévy安定分布と等価であるか。

主な発見

• 本稿では、$ \alpha = l/k < 1 $、$ \beta < k/l $ であり、$ k,l $ が正の整数であるという条件下で、時間領域応答関数 $ f_{\alpha, \beta}(t/\tau_0) $ および空間領域確率密度 $ g_{\alpha, \beta}(u) $ の正確で明示的な表現を導出した。
• パrameter $ \beta = (2-q)/(q-1) $ および $ \tau_0 = (q-1)^{1/\alpha} $ のとき、$ q \to 1^+ $ において応答関数 $ f_{\alpha, \beta}(t/\tau_0) $ は一様Lévy安定分布に収束し、Havriliak-NegamiモデルとLévy統計の間の直接的な関係を確立した。
• 確率密度 $ g_{\alpha, \beta}(u) $ の自己相似性を活用し、積分形式の進化方程式を満たす二変数確率密度関数を構築した。
• 導出した枠組みは、$ \alpha < 1 $ かつ $ \beta = 1 $ のとき、既知のCole-Cole緩和モデルを特別な場合として回復でき、従来の結果と整合性を示した。
• 積分変換の手法により、時間領域および空間領域の両方の関数に対して閉形式の表現が得られ、緩和過程のより深い解析的考察が可能になった。
• 自己相似構造から導出された進化方程式は、緩和過程のダイナミクスを記述する新しい積分形式の定式化を提供し、より広範なスケーリング解のクラスを示唆している。