[論文レビュー] Three-Point Compact Approximation for the Caputo Fractional Derivative

Yuri Dimitrov|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、リーマン・ゼータ関数による補正を用いてL1近似を変更することで、空間的・時間的3次精度を達成し、$O(h^{3-\beta})$収束を実現するキャプートー微分の3点コンパクト有限差分スキームを提案する。この手法は、分数次微分拡散および緩和方程式において安定性と精度を向上させつつ、異なる$\alpha$値に対しても単純な係数構造を維持する。

ABSTRACT

In this paper we derive the fourth-order asymptotic expansions of the trapezoidal approximation for the fractional integral and the $L1$ approximation for the Caputo derivative. We use the expansion of the $L1$ approximation to obtain the three point compact approximation for the Caputo derivative \begin{equation*} \dfrac{1}{Γ(2-α)h^α}\sum_{k=0}^{n} δ_k^{(α)} y_{n-k}=\dfrac{13}{12}y^{(α)}_n-\dfrac{1}{6}y^{(α)}_{n-1}+\dfrac{1}{12}y^{(α)}_{n-2}+O\left(h^{3-α} ight), \end{equation*} with weights $δ_0^{(α)}=1-ζ(α-1),\; δ_n^{(α)}=(n-1)^{1 -α}-n^{1-α},$ $$ δ_1^{(α)}=2^{1-α}-2+2ζ(α-1),\; δ_2^{(α)}=1-2^{2-α}+3^{1-α}-ζ(α-1),$$ $$δ_k^{(α)}=(k-1)^{1-α}-2k^{1-a}+(k+1)^{1-α},\quad (k=3\cdots,n-1),$$ where $y$ is a differentiable function which satisfies $y'(0)=0$. The numerical solutions of the fractional relaxation and the time-fractional subdiffusion equations are discussed.

研究の動機と目的

• 標準的なL1近似の$O(h^{2-\alpha})$精度を上回る、キャプートー微分の高次精度コンパクト有限差分スキームの開発を目的とする。
• 異なる$\alpha$値に対しても一貫した係数構造を保ちつつ、高次収束を達成できる3点コンパクト近似の導出を目的とする。
• スキームを分数量緩和方程式および時間分数量拡散方程式に適用し、数値的性能の向上を示すことを目的とする。
• L1重みとゼータ関数補正を用いたコンパクト近似の構築フレームワークを確立することを目的とする。

提案手法

• 台形則およびキャプートー微分のL1近似に対する4次漸近展開を導出する。
• 最初の3つの重みを$\zeta(\alpha-1)$で調整することでL1近似を修正し、3点スタencilのコンパクトな形を得る。
• コンパクトスキームを構築する：$\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)h^{\alpha}}\sum_{k=0}^{n}\delta_k^{(\alpha)}y_{n-k} = \frac{13}{12}y^{(\alpha)}_n - \frac{1}{6}y^{(\alpha)}_{n-1} + \frac{1}{12}y^{(\alpha)}_{n-2} + O(h^{3-\alpha})$。
• リーマン・ゼータ関数および累乗則差分を用いて係数$\delta_k^{(\alpha)}$を導出し、すべての$\alpha \in (0,1)$に対して一貫性を保証する。
• スキームを用いて分数量緩和方程式および時間分数量拡散方程式を数値的に解く。
• 既知の解析的形を持つ製造された解を用いて手法を検証し、$u(x,t) = (1+2x^2+3x^3)t^{3-\alpha}$および$u(x,t) = \sin x E_\alpha(-t^\alpha)$を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L1重みを修正することで、$O(h^{3-\alpha})$の精度を達成するキャプートー微分の3点コンパクト有限差分スキームを構築可能か？
• RQ2 最初の3つの係数に$\zeta(\alpha-1)$を組み込むことで、L1近似の収束次数はどのように向上するか？
• RQ3 標準L1法および修正L1法と比較して、コンパクトスキームは分数量拡散および緩和方程式においてどのような性能を示すか？
• RQ4 異なる$\alpha$値に対しても一様な係数構造を維持しつつ、高次精度を確保できるか？

主な発見

• 提案されたコンパクトスキームは$O(h^{3-\alpha})$収束を達成し、標準L1法の$O(h^{2-\alpha})$精度を顕著に上回る。
• 分数量緩和方程式の数値結果では、$\alpha = 0.4$のとき、空間収束次数は約2.0、時間収束次数は約2.17であった。
• 分数量拡散方程式（$\alpha = 0.5$）では、空間収束次数は約2.0、時間収束次数は約2.5に達し、高い精度を示した。
• 解に$y'(0) = 0$の条件が課される限り、異なる$\alpha$値に対しても一貫した係数構造を維持した。
• すべてのテストケースにおいて、空間的および時間的収束速度の両面で、標準L1法および修正L1法を上回る性能を示した。
• 本スキームは、L1重みと$\zeta(\alpha-1)$補正を用いて$O(h^{3-\alpha})$精度を達成する、分数量拡散方程式に対する最初の3点コンパクト有限差分法である。