[論文レビュー] The quantization of constrained systems: from symplectic reduction to Rieffel induction

N.P. Landsman|UvA-DARE (University of Amsterdam)|Jan 18, 1996

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、束縛系における一般化されたシンプレクティック還元を、モーメント写像の枠組みを用いて展開し、元来C*-代数理論に由来するリエフエル誘導を用いて、このような系を前ヒルベルトC*-加群を通じて量子化する方法を示している。主な貢献は、幾何的還元と作用素代数的量子化を結びつける統一的枠組みを提供することであり、特異的・非正則的ケースを含む3つの制約クラスにおいて検証されている。

ABSTRACT

This is an introduction to the author's recent work on constrained systems. Firstly, a generalization of the Marsden-Weinstein reduction procedure in symplectic geometry is presented - this is a reformulation of ideas of Mikami-Weinstein and Xu. Secondly, it is shown how this procedure is quantized by Rieffel induction, a technique in operator algebra theory. The essential point is that a symplectic space with generalized moment map is quantized by a pre-(Hilbert) C^*-module. The connection with Dirac's constrained quantization method is explained. Three examples with a single constraint are discussed in some detail: the reduced space is either singular, or defined by a constraint with incomplete flow, or unproblematic but still interesting. In all cases, our quantization procedure may be carried out. Finally, we re-interpret and generalize Mackey's quantization on homogeneous spaces. This provides a double illustration of the connection between C^*-modules and the moment map.

研究の動機と目的

• ミカミ＝ヴァインシュタインおよびシュウの先行研究を拡張し、モーメント写像を用いたシンプレクティック幾何学におけるマーサン＝ウインスタイン還元手続きの一般化を図ること。
• 作用素代数理論からのリエフエル誘導を用いて、束縛系に対する厳密な量子化手順を確立すること。
• ディラックの束縛量子化と、シンプレクティック構造およびC*-代数的構造の文脈における幾何的還元との関係を明確にすること。
• モーメント写像幾何を用いて、同次空間におけるマッケイの量子化を、より広いクラスの束縛系へと拡張すること。
• 標準的還元が失敗する状況、例えば特異的または非コンパクトな軌道を有する場合においても、量子化手順の有効性を示すこと。

提案手法

• 非コンパクトなリー群作用を想定した一般化されたシンプレクティック還元を、モーメント写像を用いて適応し、古典的マーサン＝ウインスタイン構成を拡張する。
• 還元されたシンプレクティック空間を量子化するために、リエフエル誘導を適用し、還元されたC*-代数上の前ヒルベルトC*-加群を構成する。
• モーメント写像を用いて、位相空間内での一般化された制約面を定義し、制約のフローが不完全であっても量子化が可能となるようにする。
• C*-加群理論を用いて、量子状態を還元空間上のバンドルの断面として表現し、幾何的構造を保存する。
• 対称性群の作用と加群構造を結びつける、共変な量子化写像を導入する。
• 明示的な3つの例に形式的枠組みを適用：特異的還元空間を有する系、フローが不完全な系、および正則的だが非自明な制約を有する系。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 束縛系における非コンパクトまたは特異的リー群作用を扱えるように、シンプレクティック還元をどのように一般化できるか？
• RQ2 リエフエル誘導は、モーメント写像から生じるシンプレクティック商に対して、どのように自然な量子化手続きを提供するか？
• RQ3 提案された枠組みは、ディラックの束縛量子化法と幾何的還元との間に、どのように整合性を保っているか？
• RQ4 制約のフローが不完全である、または還元空間が特異的であるような場合にも、量子化手順を拡張できるか？
• RQ5 このアプローチは、マッケイの同次空間における量子化を、より広いクラスの対称空間へとどの程度一般化できるか？

主な発見

• 一般化されたシンプレクティック還元手続きは、フローが不完全で、あるいは還元空間が特異的な系に対しても成功裏に適用可能であり、古典的還元の適用範囲を拡張した。
• リエフエル誘導は、シンプレクティック商を前ヒルベルトC*-加群に変換する明確な量子化写像を提供し、幾何的・代数的構造を保存する。
• リエフエル誘導による束縛系の量子化は、還元代数のヒルベルト加群上への表現をもたらし、ディラックの制約と整合的である。
• 特異的、不完全なフロー、正則的だが非自明な制約を有する3つの例系すべてにおいて、量子化手順は完全に実装可能であり、良好に定義された量子状態を生成する。
• モーメント写像は、幾何的制約としての役割に加え、量子化におけるC*-加群理論への橋渡しの二重的役割を果たすことが明らかになった。
• このアプローチは、マッケイの構成を、非同次的かつ非コンパクトな設定に適用可能なより広範なC*-加群枠組みに埋め込むことで、一般化した。