[論文レビュー] The Quantum and Classical Complexity of Translationally Invariant Tiling and Hamiltonian Problems

Daniel Gottesman, Sandy Irani|arXiv (Cornell University)|May 14, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、入力をシステムサイズNにのみエンコードすることで、並進不変なタイリングおよびハミルトニアン問題の計算的困難性を確立している。N×Nグリッド上の古典的タイリング問題はNEXP-completeであり、1次元量子ハミルトニアン問題はQMA_EXP-completeである。固定されたタイル規則と境界条件のもとでも、問題は計算的に困難のままであり、これは対称的で物理的に自然な系ですら、普遍計算をエンコードできることを示唆している。

ABSTRACT

We study the complexity of a class of problems involving satisfying constraints which remain the same under translations in one or more spatial directions. In this paper, we show hardness of a classical tiling problem on an N x N 2-dimensional grid and a quantum problem involving finding the ground state energy of a 1-dimensional quantum system of N particles. In both cases, the only input is N, provided in binary. We show that the classical problem is NEXP-complete and the quantum problem is QMA_EXP-complete. Thus, an algorithm for these problems which runs in time polynomial in N (exponential in the input size) would imply that EXP = NEXP or BQEXP = QMA_EXP, respectively. Although tiling in general is already known to be NEXP-complete, to our knowledge, all previous reductions require that either the set of tiles and their constraints or some varying boundary conditions be given as part of the input. In the problem considered here, these are fixed, constant-sized parameters of the problem. Instead, the problem instance is encoded solely in the size of the system.

研究の動機と目的

• 並進不変なタイリングおよびハミルトニアン問題が、固定された規則と対称性があるにもかかわらず計算的に困難であるかどうかを調査すること。
• 入力がシステムサイズNのみで、それが2進数でエンコードされている場合に、その問題の複雑さが依然として高いかどうかを特定すること。
• 定数のタイル集合と境界条件のもとでも、問題が計算困難であることを示すために、計算をシステムサイズにのみエンコードすること。
• 入力が最小限で物理的に自然な設定に、先行する困難性の結果を拡張すること。任意のパrameter化を避ける。

提案手法

• 既知の困難な問題（例えばチューリングマシンのシミュレーション）からの還元により、固定されたタイル集合と境界条件をもつタイリング問題を構築する。
• 1次元鎖における時計トラックと計算フェーズの構築により、チューリングマシンの進化をシミュレートする。
• 量子ハミルトニアンにおけるエネルギーペナルティを用いて、正しい計算を強制し、誤った構成を除外する。
• 境界条件（有限鎖、サイクル、反射対称性）の設計により、システムの挙動を制御し、制約を強制する。
• 計算をシステムサイズにエンコードし、Nを2進数で表現することで、入力パrameterを最小限に抑える。
• 標準的なQMA完全性技法を適用し、誤った構成に対するエネルギーギャップがΩ(1/N⁵)のスケーリングを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力がシステムサイズNのみの場合、並進不変なタイリング問題がNEXP-completeであるか？
• RQ2 1次元並進不変量子ハミルトニアンの基底状態エネルギー問題がQMA_EXP-completeであるか？
• RQ3 固定された規則と入力がシステムサイズNのみの系に、計算普遍性をエンコードできるか？
• RQ4 変数パrameter（例：タイル集合や境界条件）が存在しない場合、タイリングおよびハミルトニアン問題の困難性は回避可能か？
• RQ5 対称性（例：反射、回転）が、このような系における計算の困難性を維持するか、あるいは破壊するか？

主な発見

• 固定されたタイル集合と境界条件のもとで、N×Nグリッド上の古典的タイリング問題は、Nが唯一の入力である場合でもNEXP-completeである。
• 固定された相互作用をもつN粒子の1次元鎖における量子ハミルトニアン問題は、入力サイズがlog NであるためQMA_EXP-completeである。
• N時間多項式でタイリングまたはハミルトニアン問題を解けるアルゴリズムが存在するならば、それぞれNEXP = EXPまたはBQEXP = QMA_EXPを意味する。
• 量子モデルにおける誤った構成に対するエネルギーギャップはΩ(1/N⁵)のスケーリングを示し、誤った解に対して顕著なペナルティが与えられる。
• 反射対称性および周期的境界条件の下でも、構成は困難のままであり、2次元における回転対称性の下での問題は未解決のまま。
• ハミルトニアンの無限鎖極限は、非困難なハミルトニアンに収束する。これは、困難なインスタンスが熱力学的極限では持続しないことを示している。