[論文レビュー] The Quantum Approximate Optimization Algorithm Needs to See the Whole Graph: Worst Case Examples

Edward Farhi, David Gamarnik+1 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用数 55

ひとこと要約

この論文は浅い深さでは、ランダムd-レギュラグラフに対するQAOAの性能は局所的な近傍が支配的で制限されることを示しており、特に二部グラフのランダムd-レギュラグラフはMax-Cutで最大1/2の近似しか得られず、dに依存するMIS近似はdが大きくなるにつれて0に向かう。

ABSTRACT

The Quantum Approximate Optimization Algorithm can be applied to search problems on graphs with a cost function that is a sum of terms corresponding to the edges. When conjugating an edge term, the QAOA unitary at depth p produces an operator that depends only on the subgraph consisting of edges that are at most p away from the edge in question. On random d-regular graphs, with d fixed and with p a small constant time log n, these neighborhoods are almost all trees and so the performance of the QAOA is determined only by how it acts on an edge in the middle of tree. Both bipartite random d-regular graphs and general random d-regular graphs locally are trees so the QAOA's performance is the same on these two ensembles. Using this we can show that the QAOA with $(d-1)^{2p} < n^A$ for any $A<1$, can only achieve an approximation ratio of 1/2 for Max-Cut on bipartite random d-regular graphs for d large. For Maximum Independent Set, in the same setting, the best approximation ratio is a d-dependent constant that goes to 0 as d gets big.

研究の動機と目的

• グラフベースの問題（Max-CutおよびMaximum Independent Set）における浅い深さでのQuantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) の制限を動機づけ、分析する。
• ランダムなd-レギュラグラフでは、pが小さいとエッジレベルの近傍がQAOAの出力を支配し、最適でない性能をもたらすことを示す。
• 二部グラフと一般的なランダムd-レギュラグラフを対比して、最悪ケースの性能を確立する。
• （d-1)^{2p} が o(n) である場合、QAOAはこれらのグラフに対するMCおよびMISの既知の境界を超える近似はできない。

提案手法

• d-レギュラグラフ上のMCおよびMISのコスト関数と、それらのエッジ局所寄与をQAOAの下で表現する。
• U(C,γ)の局所性を用いて、目的関数がエッジのp近傍のみに依存することを主張する。
• ランダムなd-レギュラグラフでは、(d-1)^{2p}<n^{A}（あるA<1）ときほぼ全てのエッジp近傍が木構造であることを示し、木ベースの性能境界を可能にする。
• 大規模なランダムd-レギュラグラフ上のMCの既知の最適値ρ_dおよびMISの最適値σ_dと、QAOA期待値を関連づける。
• 二部のランダムd-レギュラグラフに対するQAOAコスト期待値の上界を導出し、最悪ケースの近似比と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 浅い深さpでのランダムd-レギュラグラフにおけるQAOAのMax-CutおよびMaximum Independent Setの性能限界はどこにあるか？
• RQ2 一般のランダムd-レギュラグラフと比較して、二部ランダムd-レギュラグラフに制限するとQAOAの結果はどう変わるか？
• RQ3 木のようなp近傍がQAOAの最適解へ近づく能力をどの程度決定づけるか？
• RQ4 MCとMISの既知の漸近的最適値が、QAOAのエッジレベルの寄与や全体の近似比をどの程度制約するか？

主な発見

• p = o(log n) の場合、ランダムd-レギュラグラフではほぼ全てのエッジp近傍が木であり、QAOAの性能は木のエッジ解析に支配される。
• 二部ランダムd-レギュラグラフでは、木のような近傍にもかかわらずMax-Cutの値は完全に満たされ得るが、QAOAは大きなdに対して1/2を超えない近似比を意味する境界を超えられない。
• 同じグラフにおけるMISでは、浅い深さでの最良の近似比はd依存の定数で、dが大きくなると0に向かう。
• MCとMISに対するQAOAの期待値は、木エッジの寄与のnd/2倍を超えないことにより、Ex[⟨s|U†CU|s⟩] ≤ ρ_d n + O(n^{A'}) および ≤ σ_d n + O(n^{A'}) となる。ここでρ_dとσ_dはグラフの最適解に関連する。
• したがって、二部ランダムd-レギュラグラフでは、QAOAはMCについては2ρ_d/d + O(n^{A'-1})を超える近似比を、MISについては2σ_d + O(n^{A'-1})を超える近似比を達成できない。ρ_d ≤ d/4 + O(√d) は大きなdで1/2に近い比率を意味し、σ_dはdが大きくなると減少する。
• 結果は、pがlog nの定数倍を超えない浅い深さについて証明されている。これを超える深さでは、現在の議論は適用されず、全体グラフを見渡す効果が性能を変える可能性がある。