[論文レビュー] The Quantum Complexity of Computing Schatten $p$-norms

Chris Cade, Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、行列のシュタイン p-ノルムを計算するための量子複雑度を調査しており、log-local な n-キュービットハミルトニアン A と p = poly(n) に対して、Tr(|A|p) の推定が、中程度の精度では1クリーンキュービットモデル（DQC1）に含まれることを示している。一方、より高い精度が求められる場合には DQC1-ハードである。量子アルゴリズムは、特にスパース行列やパワー法則グラフにおいて、古典的手法よりも顕著な高速化を達成しており、特定のグラフクラスでは精度に2乗の改善が得られる。

ABSTRACT

We consider the quantum complexity of computing Schatten p-norms and related quantities, and find that the problem of estimating these quantities is closely related to the one clean qubit model of computation. We show that the problem of approximating Tr(|A|^p) for a log-local n-qubit Hamiltonian A and p=poly(n), up to a suitable level of accuracy, is contained in DQC1; and that approximating this quantity up to a somewhat higher level of accuracy is DQC1-hard. In some cases the level of accuracy achieved by the quantum algorithm is substantially better than a natural classical algorithm for the problem. The same problem can be solved for arbitrary sparse matrices in BQP. One application of the algorithm is the approximate computation of the energy of a graph.

研究の動機と目的

• 行列のシュタイン p-ノルムを推定するための量子計算複雑度を特徴づけること。
• シュタイン p-ノルム推定と1クリーンキュービットモデル（DQC1）との関係を特定すること。
• グラフエネルギーのようなスペクトル量を推定する際の量子優位性を探索すること。
• スパース行列およびパワー法則グラフにおいて、量子アルゴリズムと古典的手法の性能を比較すること。

提案手法

• log-local ハミルトニアン A の時間発展演算子を、制御された誤差境界でシミュレートするために Lie-Trotter 積分公式を用いる。
• Solovay-Kitaev 定理を適用して、ユニタリ操作を多項式オーバーヘッドで普遍ゲートセットに分解する。
• DQC1 モデルを活用し、A から導かれるユニタリ行列の正規化されたトレースを推定することで、Tr(|A|p) の推定を可能にする。
• f(x) = xp および g(x) = |x|p のリプシッツ連続性を用いて、スペクトル関数推定における近似誤差を制限する。
• 制御ユニタリ操作とハダマールテストを用いて、シュタイン p-ノルム推定問題をトレース推定問題に還元する。
• 隣接行列の最大固有値と関連付けることで、特にパワー法則グラフのエネルギーを推定するためにアルゴリズムを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの p の値と行列クラスに対して、シュタイン p-ノルム推定が DQC1 モデルに含まれるか？
• RQ2 シュタイン p-ノルム推定と1クリーンキュービットモデルとの間の計算の難易度に関する関係は何か？
• RQ3 スパース行列に対して、Tr(|A|p) などのスペクトル関数を推定する際、量子アルゴリズムが古典的手法を厳密に上回る優位性を示せるか？
• RQ4 グラフエネルギーの推定における量子優位性は、特にパワー法則グラフにおいて、次数分布にどの程度依存するか？
• RQ5 スパース行列の領域において、量子アルゴリズムの精度は古典的手法と比べてどの程度優れているか？

主な発見

• log-local な n-キュービットハミルトニアン A と p = poly(n) に対して、推定精度が一定のしきい値以内であれば、Tr(|A|p) の推定は DQC1 に含まれる。
• より高い精度が要求される場合には、同じ問題は DQC1-ハードであることが示され、1クリーンキュービットモデルの全能力を内包していることが示唆される。
• 任意のスパース行列に対して、Tr(|A|p) の推定問題は BQP で解けることが示され、より広範な量子優位性が裏付けられる。
• パワー法則グラフで指数 β > 2.5 の場合、最大次数 d が平均次数に対して十分に大きいとき、量子アルゴリズムは古典的手法に対して精度の2乗の改善を達成する。
• β ∈ (2.5, 3) のパワー法則グラフでは、量子アルゴリズムが顕著なが、2乗の改善ではない優位性を示す。β < 2.5 の場合には、優位性が薄れる。
• アルゴリズムにより、グラフエネルギーの効率的かつ近似的な計算が可能となり、スパースかつスケールフリーなネットワークにおいて性能が有利にスケーリングする。