[論文レビュー] The quantum FFT can be classically simulated

Dorit Aharonov, Zeph Landau+1 more|ArXiv.org|Nov 14, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 40

ひとこと要約

この論文は、量子フーリエ変換（QFT）が、木幅（tree-width）に関連するトポロジカルパラメータである多角形幅（bubble width）が多対数的である量子回路を備えることにより、古典的コンピュータ上で多項式時間でシミュレート可能であることを示している。この性質と既知の低幅回路の古典的シミュレーション技術を組み合わせることで、著者らはQFTの出力振幅が古典的コンピュータ上で正確かつ効率的に計算可能であることを証明し、QFTが本質的に量子的であるという仮定に疑問を呈している。

ABSTRACT

In this note we describe a simple and intriguing observation: the quantum Fourier transform (QFT) over $Z_q$, which is considered the most ``quantum'' part of Shor's algorithm, can in fact be simulated efficiently by classical computers. More precisely, we observe that the QFT can be performed by a circuit of poly-logarithmic path-width, if the circuit is allowed to apply not only unitary gates but also general linear gates. Recalling the results of Markov and Shi [MaSh] and Jozsa [Jo] which provided classical simulations of such circuits in time exponential in the tree-width, this implies the result stated in the title. Classical simulations of the FFT are of course meaningless when applied to classical input strings on which their result is already known; Our observation might be interesting only in the context in which the QFT is used as a subroutine and applied to more interesting superpositions. We discuss the reasons why this idea seems to fail to provide an efficient classical simulation of the entire factoring algorithm. In the course of proving our observation, we provide two alternative proofs of the results of [MaSh,Jo] which we use. One proof is very similar in spirit to that of [MaSh] but is more visual, and is based on a graph parameter which we call the ``bubble width'', tightly related to the path- and tree-width. The other proof is based on connections to the Jones polynomial; It is very short, if one is willing to rely on several known results.

研究の動機と目的

• ショアの因数分解アルゴリズムの根幹をなす量子フーリエ変換（QFT）が、古典的コンピュータ上で効率的にシミュレート可能かどうかを調査すること。
• 多角形幅や木幅といったトポロジカルパラメータに基づいた量子回路の古典的シミュラビリティを検討すること。
• 新しいグラフ理論的およびトポロジカルな道具を用いて、既存の古典的シミュレーション定理の別証明を提示すること。
• 特にモジュラー指数関数化のような高多角形幅成分による影響を受けるため、完全因数分解アルゴリズムへの古典的シミュレーションの限界を検討すること。

提案手法

• 量子回路グラフのトポロジカルパラメータとしての多角形幅の概念を導入し、グラフと周囲のバブルの連続的同相変形によって定義する。
• 左から右へのバブルプロセスを構築することで、QFT回路が多対数的多角形幅を持つことを証明し、任意の段階における交差エッジ数を制限する。
• マークォフとシ（2006）の結果（古典的シミュレーション時間は木幅の指数関数的増加）を適用し、多角形幅が木幅と密接に関連していることから、効率的古典的シミュレーションが可能であると示す。
• 2通りの別証明を提示：1つは多角形幅を用いた視覚的で組合せ的な証明、もう1つは量子回路から導出されたブレードのジョーンズ多項式に基づく証明。
• ジョーンズ多項式の量子ユニバーサル性と、低木幅ブレードに対する既知の効率的評価アルゴリズムを活用し、古典的に所望の振幅を計算する。
• 元の量子回路を多対数的多角形幅を持つブレードに変換し、ジョーンズ多項式が準多項式時間で評価可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子フーリエ変換は、本質的に量子的と見なされるが、古典的コンピュータ上で効率的にシミュレート可能だろうか？
• RQ2 多角形幅パラメータは、木幅よりもシミュレータブルな量子回路をよりタイトに、または直感的に特徴づけることができるか？
• RQ3 QFT自体がシミュレータブルであるにもかかわらず、なぜQFTの古典的シミュレーションは完全因数分解アルゴリズムに拡張できないのか？
• RQ4 ジョーンズ多項式フレームワークを用いて、低トポロジカル複雑性の量子回路の効率的古典的シミュレーションを導出可能だろうか？

主な発見

• ℤ_q 上の量子フーリエ変換は、その回路が多対数的多角形幅を有するため、古典的コンピュータ上で多項式時間でシミュレート可能である。
• QFT回路の多角形幅は、量子ビット数の2次関数で有界であり、これは入力サイズに対して多対数的である。
• 古典的シミュレーション時間は多角形幅の指数関数的増加に依存するが、多角形幅が多対数的であるため、総体的な時間はゲート数に対して多項式のままである。
• ジョーンズ多項式に基づく証明により、関心のある振幅は、回路から導出されたブレードグラフの低木幅を活用して準多項式時間で計算可能である。
• シミュレーションは、モジュラー指数関数化ステップの多角形幅が量子ビット数に対してほぼ線形に近いため、ショアの完全因数分解アルゴリズムに拡張できない。
• 多角形幅は回路合成において加法的ではなく、個々の部品が低多角形幅であっても、それらの組み合わせが高多角形幅を示す可能性があり、シミュレーションが非効率になる。