[論文レビュー] The Quantum Mechanics SUSY Algebra: An Introductory Review

R. de Lima Rodrigues|ArXiv.org|May 2, 2002

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 261被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、2つのグラスマン変数を有する古典的ラグランジアンのディラック正準量子化を用いて、N=2超対称量子力学（SUSY QM）の包括的レビューを提示する。SUSY QMと因数分解法の対応関係を確立し、ポスクル＝テラー・ポテンシャルを用いたスペクトル分解を示し、標準的一成分形式を拡張する二成分固有関数に基づく新しい枠組みを導入する。

ABSTRACT

Starting with the Lagrangian formalism with N=2 supersymmetry in terms of two Grassmann variables in Classical Mechanics, the Dirac canonical quantization method is implemented. The N=2 supersymmetry algebra is associated to one-component and two-component eigenfunctions considered in the Schrödinger picture of Nonrelativistic Quantum Mechanics. Applications are contemplated.

研究の動機と目的

• 非相対論的量子力学におけるN=2超対称性と因数分解法の間の厳密な関係を確立すること。
• 2つのグラスマン変数を有する古典的N=2 SUSYラグランジアンにディラック正準量子化を適用すること。
• 特にポシュル＝テラー・ポテンシャルを含む可解なポテンシャルのスペクトル分解を、未破れおよび破れたSUSYを用いて示すこと。
• 標準的一成分SUSY QM形式を二成分固有関数に拡張し、SUSY QMのための新しい枠組みを導入すること。
• SUSY代数の教育的で体系的なレビューを提供し、その代数的性質およびスペクトル的性質に重点を置くこと。

提案手法

• 2つのグラスマン変数を用いて、古典的N=2超対称ラグランジアンを定式化し、力学を記述する。
• 古典系を量子力学的枠組みへと昇格させるために、ディラック正準量子化手順を適用する。
• シュレーディンガー表示におけるN=2超対称性代数を導出し、スーパーチャージとハミルトニアンを特定する。
• 因数分解法を用いてSUSYハミルトニアンの階層を構築し、等スペクトルポテンシャルと関連付ける。
• ポシュル＝テラー・ポテンシャルを具体的な例として分析し、未破れおよび破れたSUSY状態を区別する。
• 標準的一成分アプローチを一般化する二成分固有関数に基づく新しい形式を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのグラスマン変数を有する古典的ラグランジアンの正準量子化から、N=2超対称性代数はどのように導かれるか？
• RQ2 1次元量子力学における因数分解法とSUSYハミルトニアンの構造との間の明確な対応関係は何か？
• RQ3 未破れおよび破れたSUSY形式を用いて、ポシュル＝テラー・ポテンシャルのスペクトル分解はどのように達成できるか？
• RQ4 SUSY QMにおける標準的一成分固有関数形式を二成分固有関数に拡張することの意味は何か？
• RQ5 超代数構造は、等スペクトルポテンシャルの構成およびハミルトニアンの階層の構築とどのように関係するか？

主な発見

• 2つのグラスマン変数を有する古典的ラグランジアンのディラック正準量子化により、N=2超対称性代数が明確に導出された。
• 因数分解法がSUSY QM形式と同型であることが示され、等スペクトルポテンシャルを直接代数的に構成する道筋が得られた。
• ポシュル＝テラー・ポテンシャルにおいて、未破れSUSYの場合、 degenerate（ degenerate）なエネルギー準位を持つ完全なスペクトル分解が得られるが、破れたSUSYの場合、ゼロエネルギーの基底状態とスペクトルのギャップが現れる。
• 本稿では、標準的一成分形式を拡張する二成分固有関数に基づく新しい形式が導入され、SUSY QMにおけるより豊かな代数的構造が可能になった。
• ポシュル＝テラー・ポテンシャルに対して、SUSYハミルトニアンの階層が明示的に示され、スーパーチャージが等スペクトルパートナーポテンシャルを生成することが明らかになった。
• 本研究により、SUSY QMと逆散乱法との間の体系的関係が確立され、とりわけダーボウックス変換と因数分解法の関係を通じて示された。