[論文レビュー] The range of tree-indexed random walk

Jean‐François Le Gall, Shen Lin|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Kingmanの部分加法的エルゴード理論と統合されたスーパー・ブラウン運動拡散（ISE）の性質を用いて、ℤ^d 上の木インデックス付きランダムウォークの範囲の漸近的スケーリング法則を確立する。d ≥ 5 の次元では、範囲はnに対して線形に増加する。d = 4 では、n / log n の割合で増加する。d ≤ 3 では、ISEの台のLebesgue測度を含む極限分布を伴って、n^{d/4} のスケールで増加する。

ABSTRACT

We provide asymptotics for the range R(n) of a random walk on the d-dimensional lattice indexed by a random tree with n vertices. Using Kingman's subadditive ergodic theorem, we prove under general assumptions that R(n)/n converges to a constant, and we give conditions ensuring that the limiting constant is strictly positive. On the other hand, in dimension 4 and in the case of a symmetric random walk with exponential moments, we prove that R(n) grows like n/(log n). We apply our results to asymptotics for the range of branching random walk when the initial size of the population tends to infinity.

研究の動機と目的

• n 頂点を持つランダム木でインデックス付けられたランダムウォークの範囲について、概収束および確率収束の漸近的性質を導出すること。
• 通常のランダムウォークにおけるd=2と類似する形で、木インデックス付きランダムウォークにおける再帰的挙動の臨界次元d=4を特定すること。
• 低次元における木インデックス付きランダムウォークの範囲と統合スーパー・ブラウン運動拡散（ISE）との関係を確立すること。
• ジャンプ分布の対称性およびモーメント条件を満たす場合に、通常のランダムウォークの範囲に関する既存の結果を木インデックス付き設定に拡張すること。
• 大規模な初期集団を持つ分岐ランダムウォークにこれらの結果を応用し、その範囲のスケーリング極限を導出すること。

提案手法

• d ≥ 5 において、R_n / n が定数に概収束することを示すために、Kingmanの部分加法的エルゴード定理を適用する。
• 離散的スネーク表現とISEへの収束を用いて、低次元における範囲を分析する。
• モーメントの上限とカップリングの議論を用いて、特に臨界次元d=4における独立した部分木同士の交差確率を制御する。
• スケーリングされた分岐ランダムウォークがスーパー過程に収束することと、ISEのスケーリング性質を活用して極限分布を導出する。
• 幾何的産出分布をもつ臨界ガルトン＝ワトソン木における頂点数がp²に比例することを用い、分岐ランダムウォークの枠組みに適用する。
• コーシー＝シュワルツの不等式とグリーン関数の推定を用いて、2つの独立した木インデックス付きウォークが共に訪問するサイト数の期待値を上限付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤ^d 上の木インデックス付きランダムウォークの範囲は、木のサイズnに従ってどのように次元によってスケーリングされるか？
• RQ2 木インデックス付きランダムウォークにおける再帰の臨界次元は何か？通常のランダムウォークにおけるd=2と比べてどうか？
• RQ3 次元d=4において、範囲はn / log n に比例して増加するか？また、漸近的スケーリングにおける正確な定数は何か？
• RQ4 低次元における木インデックス付きウォークの範囲の漸近的性質は、統合スーパー・ブラウン運動拡散（ISE）とどのように関係するか？
• RQ5 木インデックス付きウォークに関する結果を、大規模な初期集団を持つ分岐ランダムウォークに拡張できるか？

主な発見

• d ≥ 5 において、正規化された範囲 R_n / n は、ジャンプ分布θに依存する正の定数c_θに確率収束する。
• 次元d = 4 において、範囲は (log n)/n × R_n → 8π²σ⁴ が確率収束する。ここでσ² = (det M_θ)^{1/4} であり、M_θ はθの分散共分散行列である。
• d ≤ 3 において、スケーリングされた範囲 n^{-d/4} R_n は、c_θ × λ_d(supp(ℐ)) に分布収束する。ここでℐはISE測度、λ_d はLebesgue測度である。
• 定数 c_θ = 2^{d/4} (det M_θ)^{1/2} はジャンプ分布に依存し、低次元における範囲のスケーリングを捉えている。
• 臨界ケースd=4において、初期サイズpの分岐ランダムウォークの範囲は、(log p)/p² × R(𝒵^{(p)}) → 4π²σ⁴ × J に分布収束する。ここでJは標準ブラウン運動が1に最初に到達する時間である。
• 臨界状態において、2つの独立した木インデックス付きウォークが共に訪問するサイト数の期待値はo(p²)の割合で減少し、これによりモーメントの上限を用いた収束結果が得られる。