[論文レビュー] The rationality of quaternionic Darmon points over genus fields of real quadratic fields

Matteo Longo, Stefano Vigni|arXiv (Cornell University)|May 18, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、実二次体の種数体上の楕円曲線上のクaternion的ダーモン点の線形結合の有理性を確立し、それが予測された体上で有理的であることを証明する。p-進L関数とコhomological技法を用いて、ベルトリンとダーモンによるスターマン・ヒーゲナー点の有理性結果を、より広範なクォータニオン的設定へと拡張し、ダーモンの元来の構成を超えて、非古典的スターマン・ヒーゲナー点に対する初の明示的有理性結果を提供する。

ABSTRACT

Darmon points on p-adic tori and Jacobians of Shimura curves over Q were introduced in previous joint works with Rotger as generalizations of Darmon's Stark-Heegner points. In this article we study the algebraicity over extensions of a real quadratic field K of the projections of Darmon points to elliptic curves. More precisely, we prove that linear combinations of Darmon points on elliptic curves weighted by certain genus characters of K are rational over the predicted genus fields of K. This extends to an arbitrary quaternionic setting the main theorem on the rationality of Stark-Heegner points obtained by Bertolini and Darmon, and at the same time gives evidence for the rationality conjectures formulated in a joint paper with Rotger and by M. Greenberg in his article on Stark-Heegner points. In light of this result, quaternionic Darmon points represent the first instance of a systematic supply of points of Stark-Heegner type other than Darmon's original ones for which explicit rationality results are known.

研究の動機と目的

• ベルトリンとダーモンによるスターマン・ヒーゲナー点の有理性結果をクォータニオン的設定へと拡張すること。
• グリーンバーグの有理性予想および[20]におけるクォータニオン的ダーモン点に関する予想に対する証拠を提供すること。
• 実二次体Kの予測された種数体上で、ガロア作用と整合性を持つ、種数指標で重み付けられたダーモン点の線形結合が有理的であることを確立すること。
• これらの点が、楕円曲線のp-進完備化におけるグローバル点から生じることを示し、局所的なp-進構成とグローバルな算術を結びつけること。

提案手法

• p-進L関数とシムーラ曲線上のp-進積分の理論を用いて、コhomological類の射影としてダーモン点を構成する。
• レベルを割る素数におけるシムーラ曲線のジャコビアンの剛体解析的均一化を適用し、[19]および[20]の結果に基づく。
• 実二次体Kの種数指標を用いて、ダーモン点の線形結合に重みを付けることで、ガロア作用と整合性を保つ。
• p-進モジュラー記号と群コhomologyの理論を用いて、p-進L関数と点の対数的レギュレーターを関連付ける。
• p-進L関数の関数等式と特別値を用いて、L関数の微分を点の対数と関連付ける。
• ヒダ族の理論およびL関数の特別値の理論を用いて、L関数の代数的部を制御し、点の高さと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実二次体Kの予測された種数体上で、種数指標で重み付けられたダーモン点の線形結合は有理的か？
• RQ2 クォータニオン的ダーモン点は、[20]および[13]で予想されたように、古典的スターマン・ヒーゲナー点と同様の有理性性質を満たすか？
• RQ3 ベルトリンとダーモンの結果を拡張して、クォータニオン的設定においてダーモン点の有理性を条件なしに確立できるか？
• RQ4 これらの点に、予想されるシャムールの相互法則に一致するガロア-equivariant構造は存在するか？
• RQ5 p-進L関数の値を用いて、種数体上の楕円曲線上のグローバル点を構成できるか？

主な発見

• 実二次体Kの予測された種数体上で、種数指標で重み付けられたダーモン点の線形結合は有理的である。
• 点Pχ ∈ E(Hχ)χは、無限大の位数を持つ、かつ、かつてL′(E/K, χ, 1) ≠ 0であるときかつそのときに限りそうなる。
• Pχの適切な整数倍は、E(Hχ)χにおけるp-進対数の像に属し、したがってE(Kp) ⊗Z Qに有理的であることを示唆する。
• 点Pχの対数は、p-進L関数の第二導関数に比例し、比例定数はQ×に属する。
• Jχ = c logE(Pχ)における定数cは、明示的に±v√η(2)として与えられ、v ∈ Q×であり、η(2)はQ×における平方である。
• この構成はクォータニオン的ダーモン点の有理性予想を確認し、基本体がQの場合のグリーンバーグ予想に対する証拠を提供する。