[論文レビュー] The Rationality Problem in Invariant Theory

Christian Böhning|ArXiv.org|Apr 6, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 67被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、再帰的群 $G$ が表現 $V$ に作用する場合、不変体の体 $\mathbb{C}(V)^G$ が純代数的関数体であるかどうか、すなわち有理的であるかどうかという問題を不変体論の文脈で検討する。コバリアントの方法やダブルバンドル法といった高度な技術を用いて、平面上の曲線の次数 $d$ に対するモジュライ空間が、十分に大きな $d$ に対して有理的であることを証明している。例外的な値を除き、すべての $d$ に対して有理的であることが示された。

ABSTRACT

This is a survey of the rationality problem in invariant theory. It also contains some new results, in particular in Chapter 2 on moduli spaces of plane curves with a theta-characteristic, and a detailed account of the relation of the Hesselink stratification of the Hilbert nullcone to the rationality problem, with an application to the rationality of the moduli space of plane curves of degree 34.

研究の動機と目的

• 再帰的群 $G$ が表現 $V$ に作用する場合、有理関数の不変体 $\mathbb{C}(V)^G$ が純代数的関数体（すなわち有理的）であるかどうかを特定すること。
• 平面上の曲線の次数 $d$ に対するモジュライ空間の有理的性問題を、商多様体 $\mathbb{P}(\mathrm{Sym}^d(\mathbb{C}^3)^\vee)/\mathrm{SL}_3(\mathbb{C})$ の分析を通じて解決すること。
• コバリアントの方法やダブルバンドル法といった新しいアルゴリズム的・幾何的技法を用いて、既知の不変体の有理的性に関する結果を拡張すること。
• 計算的およびコhomオロジカルな道具を用いて、平面上の曲線のモジュライ空間が、有限個の例外的次数を除き有理的であることを確立すること。

提案手法

• アロンホルト＝クレブシュ記法を用いた記号的計算を通じて、次数 4 の $G$-不変写像 $S_d: V(0,d) \to V(0,4)$ および $T_d: V(0,d) \to V(0,8)$ を構成するコバリアントの方法を適用する。
• ボレル＝ボット＝ヴァイエルシュトラウス定理を用いて、フラッグ多様体上の同調的バンドルのコホモロジーを計算し、全体的切断や不変量の研究を可能にする。
• ${\rm Spec}(\mathbb{Z})$ 上での上半連続性を用いて、定理 2.2.3.2 の条件 (c) の一般性を、$p=11$ もしくは $p=19$ での有限計算に還元する。$n$ における周期性を活用することで、$n \mod 110$ もしくは $n \mod 342$ に依存する有限計算に帰着する。
• 同次多項式を一次形式のべきの和として表現し、補間技法を用いることで、有理的性問題を有限個のケースに還元する。
• $d$ が 3 で割り切れる場合にダブルバンドル法を、$d \not\equiv 0 \pmod{3}$ の場合にコバリアントの方法を適用し、[BvB08-1a] および [BvB09-1] の技術を適応する。
• ユニラティョナルな曲面は有理的である（カステルヌオーヴォの定理）という事実を活用し、次元 2 の商多様体の有理的性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの次数 $d$ に対して、平面上の曲線のモジュライ空間が有理的であるか？
• RQ2 コバリアントの方法を用いて、大きな $d$ に対して $\mathbb{P}(\mathrm{Sym}^d(\mathbb{C}^3)^\vee)/\mathrm{SL}_3(\mathbb{C})$ が有理的であることを示せるか？
• RQ3 有理的でない可能性がある例外的次数 $d$ の集合は何か？
• RQ4 どのようにして、コバリアントの方法における一般性条件を、素数を法としての還元を用いて計算的に検証できるか？
• RQ5 フラッグ多様体上の点の配置空間の有理的性は、$V/G$ の形の商多様体の有理的性とどの程度関係しているか？

主な発見

• 定理 [Kat89] により、$d \geq 210$ かつ $d \equiv 0 \pmod{3}$ の場合、モジュライ空間 $\mathbb{P}(\mathrm{Sym}^d(\mathbb{C}^3)^\vee)/\mathrm{SL}_3(\mathbb{C})$ は有理的である。
• $d \equiv 1 \pmod{3}$ の場合、すべての $d \geq 37$ に対して有理的であり、$d \equiv 2 \pmod{3}$ の場合、すべての $d \geq 65$ に対して有理的であることが、コバリアントの方法により示された。
• 定理 2.2.3.2 の一般性条件 (c) は、$d=3n+1$ の場合に $p=11$ で、$d=3n+2$ の場合に $p=19$ で検証され、問題は $n \mod 110$ もしくは $n \mod 342$ に依存する有限計算に還元された。
• 定理 2.3.0.2 によると、平面上の曲線のモジュライ空間は、$d \in \{6,7,8,11,12,14,15,16,18,20,23,24,26,32,48\}$ を除き有理的である可能性がある。
• $\mathbb{P}(V(0,4))/\mathrm{SL}_3(\mathbb{C})$ および $\mathbb{P}(V(0,8))/\mathrm{SL}_3(\mathbb{C})$ の有理的性は、レベル 8 の安定有理的であることが確立され、主張を支持する。
• $d=27$ の場合、主な手法を超える追加の技術が用いられ、特定の状況では専用の道具の必要性が示された。