[論文レビュー] The relative Gel'fand-Kalinin-Fuks cohomology groups of the formal Hamiltonian vector fields on 6-dimensional plane

Kentaro Mikami|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、6次元平面における形式的ハミルトニアンベクトル場の相対ゲルファンド＝カリンイン＝フクスコhomology群を、重み2、4、6に注目して計算している。n=3の場合の計算の複雑さを克服するため、クリスタル基底理論を用い、ベッチ数を特定するとともに、コホモロジー群の基底を明示的に構成した。その結果、重み6において非自明なコホモロジーが存在し、オイラー特徴標数は3、余境界作用素のランクは2であることが判明した。

ABSTRACT

Using Crystal basis theory, we study the relative Gel'fand-Kalinin-Fuks cohomology groups of the formal Hamiltonian vector fields on 6-dimensional plane with weight =2,4,6.

研究の動機と目的

• R^6 上の形式的ハミルトニアンベクトル場のリー代数の相対ゲルファンド＝カリンイン＝フクスコホモロジー群を、重み2、4、6について計算すること。
• n=3の場合に、伝統的な表現論的道具（例えばリトルウッド＝リチャードソン則）が不適切になる計算的困難を克服すること。
• クリスタル基底理論を用いて、sp(6,R)表現のテンソル積を分解し、コホモロジー空間を明示的に計算すること。
• コホモロジー群のベッチ数とオイラー特徴標数を特定し、低重みにおける相対コホモロジーを完全に記述すること。

提案手法

• コチェーン複体は、R^6 上の同次多項式関数の双対空間を用いて定義され、多項式の次数ℓに対して重みをℓ - 2とする。
• 相対コホモロジーは、重みを保存する完備リー代数 ham_6^0 上の境界作用素dを用いて計算される。
• n=3の場合に不適切となるリトルウッド＝リチャードソン則の代わりに、sp(6,R)表現のテンソル積の既約分解を処理するためにクリスタル基底理論が用いられる。
• コホモロジー空間の具体的な基底は、Λ^4 S_3 ⊗ S_4 内の最大ベクトルを特定し、自明表現部分空間への射影によって構成される。
• 境界作用素dは、C^5_6 の基底上で作用する行列として表現され、ランクは2に計算される。
• C^5_6 の明示的基底要素は、クリスタル構造を用いた体系的な簡約によって計算され、一部の表現で20万以上の項を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^6 上の形式的ハミルトニアンベクトル場の相対ゲルファンド＝カリンイン＝フクスココホモロジー群の、重み2、4、6におけるベッチ数は何か？
• RQ2 標準的な表現論的道具がn=3で不適切になる場合、ham_6^0 のsp(6,R)値コホモロジーをどのように計算できるか？
• RQ3 重みw=2,4,6における相対コチェーン複体C^j_w の構造は何か？ その成分の次元は？
• RQ4 クリスタル基底理論は、高次元テンソル積における自明表現部分空間の基底を明示的に計算するために効果的に用いることができるか？
• RQ5 重み6の5次コチェーン空間上での境界作用素dのランクは何か？

主な発見

• 重み2では、ベッチ数はb^0_2 = 1、b^1_2 = 0、b^2_2 = 1であり、オイラー特徴標数は1である。
• 重み4では、ベッチ数はb^0_4 = 1、b^4_4 = 2であり、他のすべての項は0であり、オイラー特徴標数は2である。
• 重み6では、ベッチ数はb^0_6 = 1、b^5_6 = 2、b^6_6 = 5であり、他のすべての項は0であり、オイラー特徴標数は3である。
• 5次コチェーン空間C^5_6 の次元は4であり、その自明表現部分空間は4次元で、最大ベクトル4つからなる基底を持つ。
• C^5_6 上の境界作用素dのランクは2であり、4つのベクトルの基底上で作用する行列表現から示された。
• C^5_6 の明示的基底要素が構成され、1つの例では20万以上の項を含み、全基底は計算のため1567ページにわたる。