[論文レビュー] The relative $\mathcal{L}$-invariant of a compact $4$-manifold

Nickolas A. Castro, Gabriel Islambouli+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、境界をもつコンパクトで滑らかで向きつけ可能な4次元多様体に対して、三つ割り表面におけるパス長を用いて定義される相対的 $\tau$-不変量 $r\mathcal{L}(X)$ を導入し、キルビーとトマスンの閉じた4次元多様体に対する $\tau$-不変量を一般化する。この不変量に関して、有理数係数ホモロジー球体 $X$ に対して $r\mathcal{L}(X) = 0$ であることは $X \cong B^4$ であることと同値であり、内部の三つ割り、相対的三つ割り、および新たな移動である相対的ダブルツイストを用いた完全な安定化同値定理を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the relative $\mathcal{L}$-invariant $r\mathcal{L}(X)$ of a smooth, orientable, compact 4-manifold $X$ with boundary. This invariant is defined by measuring the lengths of certain paths in the cut complex of a trisection surface for $X$. This is motivated by the definition of the $\mathcal{L}$-invariant for smooth, orientable, closed 4-manifolds by Kirby and Thompson. We show that if $X$ is a rational homology ball, then $r\mathcal{L}(X)=0$ if and only if $X\cong B^4$. In order to better understand relative trisections, we also produce an algorithm to glue two relatively trisected 4-manifold by any Murasugi sum or plumbing in the boundary, and also prove that any two relative trisections of a given 4-manifold $X$ are related by interior stabilization, relative stabilization, and the relative double twist, which we introduce in this paper as a trisection version of one of Piergallini and Zuddas's moves on open book decompositions. Previously, it was only known (by Gay and Kirby) that relative trisections inducing equivalent open books on $X$ are related by interior stabilizations.

研究の動機と目的

• 境界をもつコンパクトな4次元多様体に対して、キルビーとトマスンの閉じた4次元多様体に対する不変量を拡張する相対的 $\tau$-不変量の定義。
• 有理数係数ホモロジー球体の中で、相対的 $\tau$-不変量が消えることと $B^4$ と同相であることの特徴付けの確立。
• 同じ4次元多様体の任意の2つの相対的三つ割りを結ぶ完全な移動の集合（内部の安定化、相対的安定化、相対的ダブルツイスト）の開発。
• 境界付き和の4次元多様体の三つ割りを構成可能にする、相対的三つ割り図におけるマラスギ和の実行アルゴリズムの提供。
• 境界に誘導される開ブックのモノドロミーと相対的 $\tau$-不変量の関係、特にアーキペックス複体における移動距離を通じた関係の特定。

提案手法

• 相対的三つ割り図のすべてについて、三つ割り表面のカット複体における最小パス長として、相対的 $\tau$-不変量 $r\mathcal{L}(X)$ を定義する。
• 三つの不変量 $r\mathcal{L}(X)$, $r\mathcal{L}^\partial(X)$, $r\mathcal{L}^\circ(X)$ を導入し、それぞれが全多様体、境界、内部の複雑さを測る。
• 相対的ダブルツイスト移動を定義し、これはハラーツイストの三つ割りレベルにおける類似物として、境界に誘導される開ブックのモノドロミーの操作を可能にする。
• 2つの相対的三つ割りされた4次元多様体をマラスギ和により接合する明示的アルゴリズムを構成し、境界に誘導される開ブック構造を保存する。
• 部分多様体への射影とアーキペックス複体の距離を用いて、$r\mathcal{L}^\partial(\mathcal{T})$ を境界の開ブックのモノドロミー写像 $\phi$ の安定移動距離に関連付ける。
• アーキペックス複体およびデーンツイスト分解の結果を応用し、固定された genus で $r\mathcal{L}^\partial$ が任意に大きな値をとる相対的三つ割りの例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数係数ホモロジー球体 $X$ に対して、相対的 $\tau$-不変量 $r\mathcal{L}(X)$ が0であるのはいつか？
• RQ2 4次元多様体の相対的三つ割りは、有限個の移動によってどのように互いに結びつけることができるか？
• RQ3 4次元多様体のマラスギ和は、三つ割り図によって実現可能か？ もしそうなら、どのように実現できるか？
• RQ4 相対的 $\tau$-不変量は、境界に誘導される開ブックのモノドロミーの位相的複雑さとどのように関係するか？
• RQ5 固定された genus の相対的三つ割りは、任意に大きな相対的 $\tau$-不変量をとることができるか？

主な発見

• 有理数係数ホモロジー球体 $X$ に対して、$r\mathcal{L}(X) = 0$ であることと $X \cong B^4$ であることは同値であり、キルビーとトマスンの閉じた場合の結果を一般化する。
• 任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して、$r\mathcal{L}(X) \geq n$ となる4次元多様体 $X$ が存在し、この不変量が任意に大きくとれることを示す。
• $(g,k;p,b)$-相対的三つ割り $\mathcal{T}$ に対して $r\mathcal{L}^\partial(\mathcal{T}) \leq 1$ ならば、$\partial X \cong \#_{2p+b-1} S^1 \times S^2$ である。
• $r\mathcal{L}^\partial(\mathcal{T}) < 2(2p+b-1)$ ならば、$\partial X$ は $S^1 \times S^2$ の和成分をもつ。
• 任意の $n \in \mathbb{N}$ および固定された $p,b$ で $2p + b - 1 > 1$ である場合、$r\mathcal{L}^\partial(\mathcal{T}_n) > n$ となる相対的三つ割り $\mathcal{T}_n$ が存在する。これは $H_1(\partial X_n; \mathbb{Z})$ が一様に有界であっても成り立つ。
• 相対的 $\tau$-不変量は、$r\mathcal{L}^\partial(\mathcal{T}) \geq \frac{1}{3}(2p + b - 1) d_e(\phi)$ を満たす。ここで $d_e(\phi)$ は、$\partial X$ に誘導される開ブックのモノドロミー $\phi$ の移動距離である。