[論文レビュー] The Remark on Discriminants of K3 Surfaces Moduli as Sets of Zeros of Automorphic Forms

Viacheslav V. Nikulin|ArXiv.org|Dec 29, 1995

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、任意の $ N > 0 $ に対して、$ n > N $ である偶数 $ n $ が存在し、$ n $ 次の K3 表面のモジュライ空間の判別式が、対応するタイプ IV 領域上の任意の自動形式の零点集合ではないことを示している。判別式がそのような零点集合であるための必要条件を、Picard 格子 $ S \subset L_{K3} $ に対して確立し、$ \text{rk}~S \leq 17 $ の場合にそのような $ S $ は有限個であると予想し、ミラー対称性およびローレンツ型 Kac–Moody代数と関連づけている。

ABSTRACT

We show that for any $N>0$ there exists a natural even $n>N$ such that the discriminant of moduli of K3 surfaces of the degree $n$ is not equal to the set of zeros of any automorphic form on the corresponding IV type domain. We give the necessary condition on a "condition $S\subset L_{K3}$ on Picard lattice of K3'' for the corresponding moduli $\M_{S\subset L_{K3}}$ of K3 to have the discriminant which is equal to the set of zeros of an automorphic form. We conjecture that the set of $S\subset L_{K3}$ satisfying this necessary condition is finite if $ k S \le 17$. We consider this finiteness conjecture as "mirror symmetric'' to the known finiteness results for arithmetic reflection groups in hyperbolic spaces and as important for the theory of Lorentzian Kac--Moody algebras and the related theory of automorphic forms.

研究の動機と目的

• K3 表面モジュライ空間の判別式がタイプ IV 領域上の自動形式の零点集合として実現可能かどうかを調査すること。
• この現象が生じるための Picard 格子 $ S \subset L_{K3} $ に対する必要条件を同定すること。
• $ \text{rk}~S \leq 17 $ の場合にそのような $ S $ が有限個であると予想し、その結果をミラー対称性および算術的反射群と関連づけること。
• このような判別式の有限性を、ローレンツ型 Kac–Moody代数および自動形式の理論と結びつけること。

提案手法

• 符号数 $ (2,k) $、$ k \geq 2 $ である、$ (-2) $-クラスを含まず、ランク 2 の片持ち部分格子も持たない、$ L $ の中への原始的部分格子 $ T_1 \subset L $ を構成する。
• $ S_1 = T_1^{\perp} $ である $ S_1 $ および $ T_1 $ 上の直交射影 $ \pi_{S_1} $ と $ \pi_{T_1} $ を用いて、判別式の軌跡の構造を分析する。
• $ h^2 > N $ を満たす $ S_1 \otimes \mathbb{R} $ 内の有理的射線 $ \mathbb{R}_{++}h $ の集合を分析し、それらの稠密性および $ \delta^2 = -2 $ に対して $ \mathcal{H}_{\pi_{S_1}(\delta)} $ の局所有限性を示す。
• 正錐内における超平面 $ \mathcal{H}_{\pi_{S_1}(\delta)} $ の合併の補集合が空でないという幾何的議論を用いて、反例を構成する。
• $ S \subset L $ に対して、判別式が自動形式の零点集合であるための必要条件を導出し、$ \Delta^{(2)}(S_1 \subset L) $ に属する $ \delta $ に対する $ S $ との直交性を含む。
• $ \text{rk}~S \leq 17 $ の場合に、ミラー対称性および $ 2 $-反射的格子との類似性を根拠として、有限性予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Picard 格子 $ S \subset L_{K3} $ がどのような条件を満たすとき、モジュライ空間の判別式がタイプ IV 領域上の自動形式の零点集合と一致するか？
• RQ2 任意に大きな偶数 $ n $ に対して、$ n $ 次の K3 表面モジュライの判別式が自動形式の零点集合として実現可能か？
• RQ3 $ S \subset L_{K3} $ に対して、判別式がそのような零点集合であるための幾何的および算術的必要条件は何か？
• RQ4 $ \text{rk}~S \leq 17 $ かつ判別式が自動形式の零点集合であるような $ S \subset L_{K3} $ の集合は、同型を除いて有限か？
• RQ5 この有限性予想は、ローレンツ型 Kac–Moody代数および算術的反射群の理論とどのように関連しているか？

主な発見

• 任意の $ N > 0 $ に対して、$ n > N $ である偶数 $ n $ が存在し、$ n $ 次の K3 表面のモジュライ空間の判別式は、いかなる自動形式の零点集合とも一致しない。
• 判別式が自動形式の零点集合であるための必要条件は、$ \text{rk}~S_1 \leq 18 $ となるような任意の $ S_1 \supset S $ に対して、$ T_1 = S_1^{\perp} $ が $ S \cdot \delta = 0 $ を満たす $ (-2) $-クラス $ \delta $ を含むことである。
• $ \text{rk}~S = 18 $ かつ $ T $ がランク 1 の片持ち部分格子を含む場合、判別式が零点集合であるための必要十分条件は、$ T $ が $ (-2) $-クラスを含むか、またはランク 2 の片持ち部分格子を含むことである。
• $ \text{rk}~S = 19 $ の場合、$ \dim \Omega(S \subset L) = 1 $ であるため、判別式は常に自動形式の零点集合である。
• $ \text{rk}~S \geq 3 $ の場合、$ 2 $-反射的格子の集合は有限である。本稿では、K3 モジュライの判別式に対し、ミラー対称的有限性を予想する。
• 判別式が自動形式の零点集合であるような $ S \subset L_{K3} $ で $ \text{rk}~S \leq 17 $ であるものの集合が、同型を除いて有限個であるという予想を、既知の算術的反射群における有限性結果と双対的関係にあるものとして提示する。